Номер 106, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 106, страница 35.

106. Найдите смежные углы, если:

1) один из них на $70^{\circ}$ больше второго;

2) один из них в 8 раз меньше второго;

3) их градусные меры относятся как $3:2$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, для всех пунктов задачи справедливо равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из них на 70° больше второго;

Пусть угол $\alpha$ на $70^\circ$ больше угла $\beta$. Тогда можно записать: $\alpha = \beta + 70^\circ$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 70^\circ \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$(\beta + 70^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta + 70^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 70^\circ$

$2\beta = 110^\circ$

$\beta = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$

Проверка: $125^\circ + 55^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $55^\circ$ и $125^\circ$.

2) один из них в 8 раз меньше второго;

Пусть угол $\alpha$ в 8 раз меньше угла $\beta$. Тогда можно записать: $\beta = 8\alpha$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta = 8\alpha \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$\alpha + 8\alpha = 180^\circ$

$9\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$

Теперь найдем второй угол $\beta$:

$\beta = 8 \times 20^\circ = 160^\circ$

Проверка: $20^\circ + 160^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $20^\circ$ и $160^\circ$.

3) их градусные меры относятся как 3 : 2.

Отношение углов $\alpha$ и $\beta$ равно $3:2$. Это можно записать как $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{2}$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда углы можно выразить как $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы смежных углов:

$3x + 2x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь найдем градусные меры углов:

$\alpha = 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ$

$\beta = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$

Проверка: $108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $72^\circ$ и $108^\circ$.

106. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.