Номер 109, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 109, страница 35.

109. Докажите, что если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Пусть даны два равных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, их градусные меры равны: $\angle 1 = \angle 2$.

Возьмем угол $\angle 3$, смежный с углом $\angle 1$, и угол $\angle 4$, смежный с углом $\angle 2$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, можно составить следующие равенства:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Из этих равенств выразим величины смежных углов $\angle 3$ и $\angle 4$:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

Так как по условию $\angle 1 = \angle 2$, то правые части полученных выражений равны между собой. Если равны правые части, то равны и левые части:

$\angle 3 = \angle 4$

Таким образом, мы доказали, что углы, смежные с равными углами, также равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны, так как каждый из них равен разности $180^\circ$ и величины исходного равного угла.

109. Найдите смежные углы $MKE$ и $PKE$, если угол $FKE$ на $24^\circ$ больше угла $PKE$, где луч $KF$ – биссектриса угла $MKE$.