Номер 116, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 116, страница 36.

116. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.

Пусть две прямые пересекаются в точке $O$, образуя две пары вертикальных углов. Рассмотрим одну пару вертикальных углов, $∠AOC$ и $∠BOD$.

По свойству вертикальных углов, они равны. Обозначим их величину как $\alpha$:
$∠AOC = ∠BOD = \alpha$

Проведем биссектрису $OK$ угла $∠AOC$ и биссектрису $OM$ угла $∠BOD$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$∠KOC = \frac{∠AOC}{2} = \frac{\alpha}{2}$
$∠BOM = \frac{∠BOD}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Угол между биссектрисами $OK$ и $OM$ — это угол $∠KOM$. Чтобы найти его величину, можно сложить углы, из которых он состоит. Эти углы — $∠KOC$, $∠COB$ и $∠BOM$.

Угол $∠COB$ является смежным с углом $∠AOC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:
$∠COB = 180^\circ - ∠AOC = 180^\circ - \alpha$

Теперь найдем угол $∠KOM$ как сумму трех углов:
$∠KOM = ∠KOC + ∠COB + ∠BOM$

Подставим известные значения:
$∠KOM = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$

Сгруппируем слагаемые и упростим выражение:
$∠KOM = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) + 180^\circ - \alpha = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами вертикальных углов равен $180^\circ$. Это означает, что биссектрисы лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами, образуя развернутый угол.

Ответ: $180^\circ$.

116. Проведите прямую $d$ и отметьте точку $M$, не принадлежащую ей.

С помощью угольника проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $d$.