Номер 117, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 117, страница 36.

117. Углы $ABF$ и $FBC$ смежные, $\angle ABF = 80^\circ$, луч $BD$ принадлежит углу $ABF$, $\angle ABD = 30^\circ$. Найдите угол между биссектрисами углов $DBF$ и $FBC$.

Решение

1. По условию, углы $∠ABF$ и $∠FBC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180°$. Зная, что $∠ABF = 80°$, мы можем найти величину угла $∠FBC$:
$∠FBC = 180° - ∠ABF = 180° - 80° = 100°$.

2. Луч $BD$ принадлежит углу $∠ABF$. Это означает, что угол $∠ABF$ состоит из двух углов: $∠ABD$ и $∠DBF$. По условию $∠ABD = 30°$. Найдем величину угла $∠DBF$:
$∠DBF = ∠ABF - ∠ABD = 80° - 30° = 50°$.

3. Нам нужно найти угол между биссектрисами углов $∠DBF$ и $∠FBC$. Обозначим биссектрису угла $∠DBF$ как $BM$, а биссектрису угла $∠FBC$ как $BN$.
По определению, биссектриса делит угол пополам. Найдем величины углов, образованных биссектрисами:
- Угол, образованный биссектрисой $BM$: $∠MBF = \frac{1}{2} ∠DBF = \frac{1}{2} \cdot 50° = 25°$.
- Угол, образованный биссектрисой $BN$: $∠FBN = \frac{1}{2} ∠FBC = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$.

4. Искомый угол между биссектрисами $BM$ и $BN$ — это угол $∠MBN$. Он равен сумме углов $∠MBF$ и $∠FBN$, так как луч $BF$ находится между лучами $BM$ и $BN$.
$∠MBN = ∠MBF + ∠FBN = 25° + 50° = 75°$.

Ответ: $75°$.

117. Начертите угол $ABK$, равный: 1) $73^\circ$; 2) $146^\circ$. Отметьте на луче $BK$ точку $C$ и проведите через неё прямые, перпендикулярные прямым $AB$ и $BK$.