Номер 114, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 114, страница 36.

114. Прямые AB, CD и MK пересекаются в точке O (рис. 97), $\angle AOC = 70^{\circ}$, $\angle MOB = 15^{\circ}$. Найдите углы DOK, AOM и AOD.

Рис. 97

Для решения задачи воспользуемся свойствами смежных и вертикальных углов, которые образуются при пересечении прямых.

AOD

Углы $∠AOC$ и $∠AOD$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $CD$. Сумма смежных углов равна $180°$.

$∠AOD + ∠AOC = 180°$

Исходя из условия, $∠AOC = 70°$. Подставим это значение в формулу:

$∠AOD + 70° = 180°$

$∠AOD = 180° - 70° = 110°$

Ответ: $∠AOD = 110°$.

AOM

1. Углы $∠AOK$ и $∠MOB$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $MK$. Вертикальные углы равны, следовательно:

$∠AOK = ∠MOB = 15°$

2. Угол $∠AOC$ состоит из двух смежных ему углов $∠AOK$ и $∠KOC$. Таким образом:

$∠AOC = ∠AOK + ∠KOC$

$70° = 15° + ∠KOC$

$∠KOC = 70° - 15° = 55°$

3. Углы $∠MOD$ и $∠KOC$ являются вертикальными (образованы пересечением прямых $CD$ и $MK$), поэтому они равны:

$∠MOD = ∠KOC = 55°$

4. Угол $∠AOD$ состоит из двух смежных ему углов $∠AOM$ и $∠MOD$.

$∠AOD = ∠AOM + ∠MOD$

Мы уже нашли, что $∠AOD = 110°$ и $∠MOD = 55°$. Подставляем эти значения:

$110° = ∠AOM + 55°$

$∠AOM = 110° - 55° = 55°$

Ответ: $∠AOM = 55°$.

DOK

1. Углы $∠KOC$ и $∠KOD$ являются смежными, так как они лежат на прямой $CD$. Их сумма равна $180°$.

$∠KOC + ∠KOD = 180°$

2. Из предыдущих вычислений мы знаем, что $∠KOC = 55°$.

$55° + ∠KOD = 180°$

$∠KOD = 180° - 55° = 125°$

Угол $∠DOK$ - это тот же самый угол, что и $∠KOD$.

Ответ: $∠DOK = 125°$.

114. Перерисуйте в тетрадь рисунок 101. Пользуясь угольником, проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $a$.

Рис. 101

а

б

в

г