Номер 112, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 112, страница 35.

112. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна $64^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Среди них есть две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых всегда равна $180^\circ$.

Пусть величины двух углов, о которых говорится в задаче, равны $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим, какими могут быть эти два угла:

• Если эти углы вертикальные, то они равны ($\alpha = \beta$). Их разность будет равна нулю, что противоречит условию задачи, где разность равна $64^\circ$.
• Следовательно, эти углы являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений. Пусть $\alpha$ - больший угол, а $\beta$ - меньший:

1. Сумма углов: $\alpha + \beta = 180^\circ$

2. Разность углов (по условию): $\alpha - \beta = 64^\circ$

Теперь решим эту систему. Сложим первое и второе уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 64^\circ$

$2\alpha = 244^\circ$

$\alpha = \frac{244^\circ}{2} = 122^\circ$

Подставим найденное значение $\alpha$ в первое уравнение, чтобы найти $\beta$:

$122^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $122^\circ$, а другая — $58^\circ$.

Ответ: $58^\circ, 122^\circ, 58^\circ, 122^\circ$.

112. Два угла имеют общую сторону, а их сумма равна $180^\circ$. Являются ли эти углы смежными?