Номер 110, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 110, страница 35.

110. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 140°. Докажите, что эти углы вертикальные.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Любая пара углов из этих четырех является либо смежной, либо вертикальной.

Рассмотрим вариант, что данные два угла, сумма которых по условию равна $140^\circ$, являются смежными. По свойству смежных углов, их сумма всегда должна быть равна $180^\circ$.

Поскольку $140^\circ \neq 180^\circ$, возникает противоречие. Это означает, что наше предположение неверно, и данные углы не могут быть смежными.

Так как существует только две возможности (углы смежные или вертикальные), и вариант со смежными углами исключен, то остается единственная возможность: данные углы являются вертикальными.

Проверим это. Если углы вертикальные, то они равны. Пусть величина каждого из углов равна $\alpha$. Тогда их сумма:

$\alpha + \alpha = 140^\circ$

$2\alpha = 140^\circ$

$\alpha = 70^\circ$

Таким образом, каждый из углов равен $70^\circ$. Это не приводит ни к какому противоречию. Углы, смежные с данными, будут равны $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Следовательно, мы доказали, что углы, о которых идет речь в задаче, являются вертикальными.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что данные углы смежные, их сумма должна быть $180^\circ$, что противоречит условию задачи ($140^\circ$). Следовательно, эти углы могут быть только вертикальными.

110. На рисунке 89 $ \angle MAB + \angle ACB = 180^\circ $. Докажите, что $ \angle MAB = \angle KCB $.

Рис. 89