Номер 108, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 108, страница 35.

108. Верно ли утверждение:

1) для каждого угла можно построить только один вертикальный угол;

2) для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно построить только один смежный угол;

3) если углы равны, то они вертикальные;

4) если углы не равны, то они не вертикальные;

5) если углы не вертикальные, то они не равны;

6) если два угла смежные, то один из них острый, а второй тупой;

7) если два угла смежные, то один из них больше другого;

8) если сумма двух углов равна $180^\circ$, то они смежные;

9) если сумма двух углов не равна $180^\circ$, то они не смежные;

10) если смежные углы равны, то они прямые;

11) если равные углы имеют общую вершину, то они вертикальные;

12) если два угла имеют общую сторону, то они смежные?

1) для каждого угла можно построить только один вертикальный угол;

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Для любого заданного угла, образованного двумя лучами с общей вершиной, можно однозначно продолжить эти лучи за вершину. Новые продолженные лучи образуют ровно один угол, который будет вертикальным исходному. Таким образом, для каждого угла существует только один вертикальный ему угол.
Ответ: Верно.

2) для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно построить только один смежный угол;

Смежные углы имеют общую вершину, одну общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга (образуют прямую). У любого угла есть две стороны. Мы можем построить смежный угол, продолжив любую из этих двух сторон. Так как угол не является развернутым, его стороны не лежат на одной прямой, и поэтому мы получим два разных смежных угла. Например, для угла $AOB$ можно построить смежный угол, продолжив сторону $OA$, и другой смежный угол, продолжив сторону $OB$.
Ответ: Неверно.

3) если углы равны, то они вертикальные;

Это утверждение неверно. Можно привести множество контрпримеров. Например, два любых треугольника могут иметь равные углы, но эти углы не будут вертикальными, так как у них нет общей вершины. Или, например, два смежных угла, каждый по $90^\circ$, равны, но они смежные, а не вертикальные.
Ответ: Неверно.

4) если углы не равны, то они не вертикальные;

Это утверждение является обратным к утверждению "если углы вертикальные, то они равны". Теорема о равенстве вертикальных углов является верной. Следовательно, если два угла не равны, они не могут быть вертикальными. Это логическое следствие (контрапозиция).
Ответ: Верно.

5) если углы не вертикальные, то они не равны;

Это утверждение неверно. Как и в пункте 3, можно взять два равных угла, которые не являются вертикальными. Например, два угла по $45^\circ$ в разных местах плоскости. Они равны, но не вертикальные.
Ответ: Неверно.

6) если два угла смежные, то один из них острый, а второй тупой;

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Если один угол острый (меньше $90^\circ$), то второй действительно будет тупым (больше $90^\circ$). Однако, если один угол прямой ($90^\circ$), то и второй смежный с ним угол тоже будет прямым ($180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$). В этом случае ни один из них не является острым или тупым. Следовательно, утверждение не всегда верно.
Ответ: Неверно.

7) если два угла смежные, то один из них больше другого;

Это утверждение не всегда верно. Контрпример — два смежных прямых угла. Каждый из них равен $90^\circ$, поэтому ни один не больше другого.
Ответ: Неверно.

8) если сумма двух углов равна 180°, то они смежные;

Для того чтобы углы были смежными, они должны не только в сумме давать $180^\circ$, но и иметь общую вершину и общую сторону, а две другие их стороны должны лежать на одной прямой. Можно взять два угла, например, $80^\circ$ и $100^\circ$, расположенные в разных частях плоскости. Их сумма равна $180^\circ$, но они не являются смежными.
Ответ: Неверно.

9) если сумма двух углов не равна 180°, то они не смежные;

По определению, сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Следовательно, если сумма двух углов не равна $180^\circ$, они точно не могут быть смежными. Это утверждение является верным (контрапозиция к определению смежных углов).
Ответ: Верно.

10) если смежные углы равны, то они прямые;

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — смежные углы. Тогда их сумма $\alpha + \beta = 180^\circ$. По условию, они равны, то есть $\alpha = \beta$. Подставив это в первое равенство, получаем $\alpha + \alpha = 180^\circ$, или $2\alpha = 180^\circ$, откуда $\alpha = 90^\circ$. Значит, $\alpha = \beta = 90^\circ$. Углы, равные $90^\circ$, являются прямыми.
Ответ: Верно.

11) если равные углы имеют общую вершину, то они вертикальные;

Это неверно. Можно расположить два равных угла с общей вершиной так, что они будут просто соседними. Например, три луча $OA$, $OB$, $OC$ выходят из одной точки $O$. Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ могут быть равны, но они не вертикальные. Вертикальные углы должны быть образованы двумя пересекающимися прямыми.
Ответ: Неверно.

12) если два угла имеют общую сторону, то они смежные?

Неверно. Наличие общей стороны — необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы углы были смежными. Кроме общей стороны, две другие стороны этих углов должны образовывать развёрнутый угол (прямую линию). Например, два угла $\angle AOB$ и $\angle BOC$ с общей стороной $OB$ не будут смежными, если их сумма не равна $180^\circ$.
Ответ: Неверно.

108. Углы $AOB$ и $BOC$ – смежные, луч $OD$ – биссектриса угла $AOB$, угол $BOD$ на $18^{\circ}$ меньше угла $BOC$. Найдите углы $AOB$ и $BOC$.