Номер 102, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 102, страница 35.

102. Может ли пара смежных углов состоять:

1) из двух острых углов;

2) из двух тупых углов;

3) из прямого и тупого углов;

4) из прямого и острого углов?

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (лежат на одной прямой). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим смежные углы как $\angle 1$ и $\angle 2$, тогда должно выполняться равенство: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Вспомним определения типов углов: острый угол — это угол меньше $90^\circ$; прямой угол — это угол, равный $90^\circ$; тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Проанализируем каждый случай, исходя из этих определений.

1) из двух острых углов

Пусть у нас есть два острых угла, $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. По определению острого угла, $\angle \alpha < 90^\circ$ и $\angle \beta < 90^\circ$. Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма двух острых углов всегда меньше $180^\circ$. Так как сумма смежных углов должна быть строго равна $180^\circ$, пара смежных углов не может состоять из двух острых углов.
Ответ: нет.

2) из двух тупых углов

Пусть у нас есть два тупых угла, $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. По определению тупого угла, $\angle \alpha > 90^\circ$ и $\angle \beta > 90^\circ$. Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма двух тупых углов всегда больше $180^\circ$. Следовательно, пара смежных углов не может состоять из двух тупых углов.
Ответ: нет.

3) из прямого и тупого углов

Пусть один угол прямой ($\angle \alpha = 90^\circ$), а второй тупой ($\angle \beta > 90^\circ$). Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ + \angle \beta$. Так как $\angle \beta > 90^\circ$, то сумма будет $\angle \alpha + \angle \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма прямого и тупого углов всегда больше $180^\circ$, поэтому они не могут быть смежными.
Ответ: нет.

4) из прямого и острого углов

Пусть один угол прямой ($\angle \alpha = 90^\circ$), а второй острый ($0^\circ < \angle \beta < 90^\circ$). Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ + \angle \beta$. Так как $\angle \beta < 90^\circ$, то сумма будет $\angle \alpha + \angle \beta < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма прямого и острого углов всегда меньше $180^\circ$. Также можно рассуждать иначе: если один из смежных углов равен $90^\circ$, то второй смежный с ним угол должен быть равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Угол в $90^\circ$ является прямым, а не острым. Поэтому такая пара невозможна.
Ответ: нет.

102. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна $64^\circ$.