Номер 96, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 96, страница 33.

96. Начертите:

1) три угла: острый, прямой и тупой, для каждого из них постройте смежный угол;

2) два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была вертикальной.

1)

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами (вместе образуют прямую линию). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Построение для острого угла:

Острый угол имеет градусную меру меньше $90^\circ$.

1. Начертим прямую линию и отметим на ней точку $O$. Эта прямая будет состоять из двух лучей, исходящих из точки $O$ в противоположных направлениях, например, $OA$ и $OC$.
2. Из точки $O$ проведем луч $OB$ так, чтобы он образовывал с одним из лучей прямой, например с $OC$, острый угол. Обозначим этот угол $\angle BOC$. Таким образом, $0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$.
3. Угол $\angle AOB$, образованный лучами $OA$ и $OB$, будет смежным с углом $\angle BOC$.
4. Так как $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$, то $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$. Поскольку $\angle BOC$ острый, то смежный с ним угол $\angle AOB$ будет тупым (больше $90^\circ$).

Построение для прямого угла:

Прямой угол равен $90^\circ$.

1. Начертим прямую линию $AC$ и отметим на ней точку $O$.
2. Из точки $O$ проведем луч $OB$ перпендикулярно прямой $AC$. Угол $\angle BOC$ будет прямым: $\angle BOC = 90^\circ$.
3. Смежный с ним угол $\angle AOB$ также будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
4. Таким образом, угол, смежный с прямым углом, также является прямым.

Построение для тупого угла:

Тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

1. Начертим прямую линию $AC$ и отметим на ней точку $O$.
2. Из точки $O$ проведем луч $OB$ так, чтобы угол $\angle BOC$ был тупым. То есть, $90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$.
3. Смежный с ним угол $\angle AOB$ будет равен $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$.
4. Поскольку $\angle BOC$ тупой, то смежный с ним угол $\angle AOB$ будет острым (меньше $90^\circ$).

Ответ: Для построения смежного угла к заданному углу, необходимо одну из его сторон продлить за вершину до образования прямой линии. Если исходный угол острый, смежный ему будет тупым; если исходный угол прямой, смежный ему будет также прямым; если исходный угол тупой, смежный ему будет острым.

2)

Требуется начертить два смежных угла, которые не равны друг другу, при условии, что их общая сторона является вертикальной.

Условие "неравные смежные углы" означает, что ни один из них не может быть прямым углом (равным $90^\circ$), так как в этом случае и смежный с ним угол был бы прямым. Следовательно, один из углов должен быть острым, а другой — тупым.

Порядок построения:

1. Начертим вертикальный луч $OB$ с началом в точке $O$. Этот луч будет общей стороной двух искомых смежных углов.
2. Через точку $O$ проведем прямую линию $AC$. Эта прямая не должна быть горизонтальной, так как в этом случае она была бы перпендикулярна лучу $OB$, и образовавшиеся углы были бы прямыми (и равными). Проведем прямую $AC$ под наклоном.
3. В результате получаются два смежных угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

Так как их общая сторона $OB$ вертикальна, а стороны $OA$ и $OC$ лежат на наклонной прямой $AC$, то углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ не равны $90^\circ$. Их сумма равна $180^\circ$, и они не равны друг другу. Таким образом, условия задачи выполнены.

Ответ: Чтобы выполнить построение, нужно нарисовать вертикальный луч, который будет общей стороной. Затем из начала этого луча провести наклонную (не горизонтальную) прямую. Образовавшиеся два смежных угла будут неравными.

Рис. 86

96. Найдите углы 2, 3 и 4 (рис. 86), если $ \angle 1 = 42^\circ $.