Страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие два угла называют смежными?

1. Смежными называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, то есть лежат на одной прямой. Иными словами, у смежных углов есть общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны вместе образуют прямую линию (развернутый угол).

Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Если у нас есть два смежных угла, $\alpha$ и $\beta$, то справедливо равенство:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Например, если на прямой $AB$ отметить точку $O$ и провести из нее луч $OC$, то углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$ будут смежными.

Ответ: Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми (образуют прямую линию), называются смежными.

1. Какие два угла называют смежными?

2. Чему равна сумма смежных углов?

2.Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями друг друга, образуя прямую линию.

Вместе эти два угла составляют развёрнутый угол. Величина развёрнутого угла по определению равна $180$ градусам. Следовательно, сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Это является теоремой о сумме смежных углов. Если обозначить градусные меры двух смежных углов как $\alpha$ и $\beta$, то их соотношение можно выразить формулой:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Например, если один из смежных углов равен $60^\circ$, то второй будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

2. Чему равна сумма смежных углов?

3. Какие два угла называют вертикальными?

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Например, если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. Углы, которые расположены друг напротив друга при таком пересечении, и являются вертикальными.

Рассмотрим две прямые a и b, пересекающиеся в точке O. Они образуют четыре угла, которые мы обозначим цифрами 1, 2, 3 и 4.

• Угол 1 и угол 3 — это одна пара вертикальных углов.
• Угол 2 и угол 4 — это вторая пара вертикальных углов.

Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они всегда равны между собой.
То есть, $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.

Доказательство:
Углы 1 и 2 являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол (прямую линию). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
Углы 2 и 3 также являются смежными, и их сумма тоже равна $180^\circ$.
$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
Так как правые части обоих равенств равны ($180^\circ$), то равны и левые:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$
Вычтем из обеих частей равенства $\angle 2$:
$\angle 1 = \angle 3$
Аналогично доказывается равенство углов 2 и 4.

Ответ: Вертикальными называют два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого.

3. Какие два угла называют вертикальными?

4. Сформулируйте теорему о свойстве вертикальных углов.

Теорема о свойстве вертикальных углов формулируется следующим образом: вертикальные углы равны.

Для развернутого ответа приведем также определение и доказательство этой теоремы.

Определение: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Такие углы образуются при пересечении двух прямых.

Доказательство теоремы:

Пусть две прямые пересекаются и образуют четыре угла: $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Пары вертикальных углов — это ($\angle 1, \angle 3$) и ($\angle 2, \angle 4$). Нам нужно доказать, что $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.

Рассмотрим пару углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Они являются смежными, поскольку у них одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь рассмотрим пару углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Они также являются смежными по той же причине. Следовательно, их сумма также равна $180^\circ$:

$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Так как оба выражения равны $180^\circ$, мы можем приравнять левые части этих равенств:

$\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Вычитая величину угла $\angle 2$ из обеих частей равенства, получаем:

$\angle 1 = \angle 3$

Равенство второй пары вертикальных углов ($\angle 2 = \angle 4$) доказывается аналогично, рассматривая смежные углы ($\angle 1, \angle 2$) и ($\angle 1, \angle 4$), или ($\angle 3, \angle 2$) и ($\angle 3, \angle 4$).

Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Вертикальные углы равны.

4. Сформулируйте теорему о свойстве вертикальных углов.

96. Начертите:

1) три угла: острый, прямой и тупой, для каждого из них постройте смежный угол;

2) два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была вертикальной.

1)

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами (вместе образуют прямую линию). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Построение для острого угла:

Острый угол имеет градусную меру меньше $90^\circ$.

1. Начертим прямую линию и отметим на ней точку $O$. Эта прямая будет состоять из двух лучей, исходящих из точки $O$ в противоположных направлениях, например, $OA$ и $OC$.
2. Из точки $O$ проведем луч $OB$ так, чтобы он образовывал с одним из лучей прямой, например с $OC$, острый угол. Обозначим этот угол $\angle BOC$. Таким образом, $0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$.
3. Угол $\angle AOB$, образованный лучами $OA$ и $OB$, будет смежным с углом $\angle BOC$.
4. Так как $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$, то $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$. Поскольку $\angle BOC$ острый, то смежный с ним угол $\angle AOB$ будет тупым (больше $90^\circ$).

Построение для прямого угла:

Прямой угол равен $90^\circ$.

1. Начертим прямую линию $AC$ и отметим на ней точку $O$.
2. Из точки $O$ проведем луч $OB$ перпендикулярно прямой $AC$. Угол $\angle BOC$ будет прямым: $\angle BOC = 90^\circ$.
3. Смежный с ним угол $\angle AOB$ также будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
4. Таким образом, угол, смежный с прямым углом, также является прямым.

Построение для тупого угла:

Тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

1. Начертим прямую линию $AC$ и отметим на ней точку $O$.
2. Из точки $O$ проведем луч $OB$ так, чтобы угол $\angle BOC$ был тупым. То есть, $90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$.
3. Смежный с ним угол $\angle AOB$ будет равен $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$.
4. Поскольку $\angle BOC$ тупой, то смежный с ним угол $\angle AOB$ будет острым (меньше $90^\circ$).

Ответ: Для построения смежного угла к заданному углу, необходимо одну из его сторон продлить за вершину до образования прямой линии. Если исходный угол острый, смежный ему будет тупым; если исходный угол прямой, смежный ему будет также прямым; если исходный угол тупой, смежный ему будет острым.

2)

Требуется начертить два смежных угла, которые не равны друг другу, при условии, что их общая сторона является вертикальной.

Условие "неравные смежные углы" означает, что ни один из них не может быть прямым углом (равным $90^\circ$), так как в этом случае и смежный с ним угол был бы прямым. Следовательно, один из углов должен быть острым, а другой — тупым.

Порядок построения:

1. Начертим вертикальный луч $OB$ с началом в точке $O$. Этот луч будет общей стороной двух искомых смежных углов.
2. Через точку $O$ проведем прямую линию $AC$. Эта прямая не должна быть горизонтальной, так как в этом случае она была бы перпендикулярна лучу $OB$, и образовавшиеся углы были бы прямыми (и равными). Проведем прямую $AC$ под наклоном.
3. В результате получаются два смежных угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

Так как их общая сторона $OB$ вертикальна, а стороны $OA$ и $OC$ лежат на наклонной прямой $AC$, то углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ не равны $90^\circ$. Их сумма равна $180^\circ$, и они не равны друг другу. Таким образом, условия задачи выполнены.

Ответ: Чтобы выполнить построение, нужно нарисовать вертикальный луч, который будет общей стороной. Затем из начала этого луча провести наклонную (не горизонтальную) прямую. Образовавшиеся два смежных угла будут неравными.

Рис. 86

96. Найдите углы 2, 3 и 4 (рис. 86), если $ \angle 1 = 42^\circ $.