Страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие две прямые называют перпендикулярными?

1. Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Прямой угол — это угол, градусная мера которого составляет $90^\circ$. Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла в точке пересечения. Если один из этих углов является прямым, то остальные три угла также будут прямыми. Такие прямые и называются перпендикулярными.

Для обозначения перпендикулярности прямых a и b используется специальный символ $\perp$. Запись $a \perp b$ читается как «прямая a перпендикулярна прямой b».

Ответ: Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

1. Если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов — прямой, то какими являются остальные углы?

2. Как читают запись $m \perp n$?

Запись $m \perp n$ является стандартным математическим обозначением, которое используется в геометрии для выражения отношения перпендикулярности между двумя объектами.

В данной записи буквами $m$ и $n$, как правило, обозначают прямые, отрезки, лучи или плоскости. Специальный символ $\perp$ является знаком перпендикулярности.

Следовательно, запись $m \perp n$ означает, что объект $m$ перпендикулярен объекту $n$. Геометрически это означает, что если $m$ и $n$ — это прямые, то они пересекаются под прямым углом, то есть под углом в $90^\circ$.

Читают это выражение следующим образом: «эм перпендикулярно эн». Если из контекста известно, что речь идет о прямых, то возможен и более полный вариант прочтения: «прямая эм перпендикулярна прямой эн».

Ответ: Запись $m \perp n$ читают как «эм перпендикулярно эн».

2. Какие две прямые называют перпендикулярными?

3. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Эти углы можно сгруппировать в две пары равных между собой вертикальных углов. Также можно выделить четыре пары смежных углов, сумма которых всегда равна $180^\circ$.

Пусть при пересечении двух прямых образовались углы, величины которых равны $\alpha$ и $\beta$. Поскольку они являются смежными, их сумма составляет $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Возможны два случая:

1. Все образовавшиеся углы равны. Это происходит, когда прямые перпендикулярны. В этом случае все четыре угла равны $90^\circ$.
2. Образовались две пары углов разной величины. В этом случае, так как их сумма равна $180^\circ$, один из углов будет острым (меньше $90^\circ$), а другой — тупым (больше $90^\circ$).

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину наименьшего из углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол между прямыми не может быть тупым, его значение всегда находится в промежутке от $0^\circ$ (не включая, так как прямые пересекаются) до $90^\circ$ (включительно).

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$. Во всех остальных случаях углом между прямыми является величина острого угла.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из четырёх углов, образованных при их пересечении. Величина этого угла не превышает $90^\circ$.

3. Каким символом обозначают перпендикулярные прямые?

4. Какие два отрезка называют перпендикулярными?

Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

В свою очередь, перпендикулярными называют прямые, которые пересекаются под прямым углом. Величина прямого угла равна $90^\circ$.

Это означает, что для того, чтобы отрезки были перпендикулярны, не обязательно, чтобы они сами пересекались. Достаточно, чтобы прямые, на которых они лежат, при пересечении образовывали угол в $90^\circ$.

Перпендикулярность отрезков $AB$ и $CD$ обозначается с помощью знака $\perp$, например: $AB \perp CD$.

Ответ: Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на прямых, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

4. Как читают запись $m \perp n$?

5. Что называют расстоянием от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой, не содержащей эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр — это отрезок, который соединяет данную точку с точкой на прямой и образует с этой прямой прямой угол ($90^\circ$). Точка пересечения перпендикуляра и прямой называется основанием перпендикуляра.

Этот отрезок (перпендикуляр) является кратчайшим из всех отрезков, соединяющих данную точку с точками на прямой. Любой другой отрезок, соединяющий точку с прямой, называется наклонной. Длина любой наклонной всегда больше длины перпендикуляра, так как в прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром, наклонной и отрезком прямой, наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр — катетом. Как известно, гипотенуза всегда длиннее катета.

Если точка принадлежит прямой, то расстояние от точки до прямой считается равным нулю.

Ответ: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

5. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

124. Перерисуйте в тетрадь рисунок 109. Пользуясь угольником, проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $a$.

Рис. 109

а

б

в

а

В данном случае точка M лежит на прямой a. Чтобы провести через точку M прямую, перпендикулярную прямой a, необходимо выполнить следующие действия:

1. Приложить угольник одной из его сторон, образующих прямой угол (катетом), к прямой a.
2. Передвигать угольник вдоль прямой a до тех пор, пока его вторая сторона, образующая прямой угол, не пройдет через точку M.
3. Вдоль этой второй стороны угольника провести прямую. Обозначим ее буквой b.

Построенная прямая b проходит через точку M и перпендикулярна прямой a, так как при построении был использован прямой угол угольника ($90^\circ$). Таким образом, мы получаем $b \perp a$.

Ответ: Выполнено построение прямой b, которая проходит через точку M и перпендикулярна прямой a.

б

В этом случае точка M расположена вне прямой a. Алгоритм построения перпендикуляра будет следующим:

1. Приложить угольник одной из его сторон, образующих прямой угол, к прямой a.
2. Передвигать угольник вдоль прямой a, не меняя его ориентации, до тех пор, пока вторая сторона, образующая прямой угол, не коснется точки M.
3. Когда вторая сторона угольника пройдет через точку M, провести вдоль нее прямую. Обозначим ее буквой c.

Прямая c пройдет через точку M и будет перпендикулярна прямой a ($c \perp a$), так как построение велось с помощью прямого угла угольника.

Ответ: Выполнено построение прямой c, которая проходит через точку M и перпендикулярна прямой a.

в

Этот случай аналогичен случаю б, так как точка M также не лежит на прямой a. Построение выполняется тем же способом:

1. Совместить одну из сторон угольника, прилежащих к прямому углу, с прямой a.
2. Сдвигать угольник вдоль прямой a до тех пор, пока вторая сторона, прилежащая к прямому углу, не пройдет через точку M.
3. Провести прямую вдоль этой второй стороны угольника. Обозначим ее буквой d.

Полученная прямая d проходит через точку M и перпендикулярна прямой a ($d \perp a$), так как для ее построения был использован прямой угол угольника.

Ответ: Выполнено построение прямой d, которая проходит через точку M и перпендикулярна прямой a.

124. На рисунке 104 $AC \perp DK$, $OB \perp BF$, $\angle DBO = 54^\circ$. Найдите угол ABF.