Страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

113. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 96). Найдите

$ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 $

Рис. 96

На рисунке 96 изображены три прямые, которые пересекаются в одной точке. Углы $\angle1$, $\angle2$ и $\angle3$ являются смежными. Они расположены так, что их крайние стороны образуют одну прямую линию.

Угол, стороны которого лежат на одной прямой, называется развернутым углом. Величина развернутого угла по определению составляет $180^\circ$.

Поскольку углы $\angle1$, $\angle2$ и $\angle3$ вместе составляют развернутый угол, их сумма равна $180^\circ$.

Таким образом, мы можем записать равенство:

$\angle1 + \angle2 + \angle3 = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$.

113. Разделите фигуру, изображённую на рисунке 91, на шесть частей двумя прямыми.

114. Прямые AB, CD и MK пересекаются в точке O (рис. 97), $\angle AOC = 70^{\circ}$, $\angle MOB = 15^{\circ}$. Найдите углы DOK, AOM и AOD.

Рис. 97

Для решения задачи воспользуемся свойствами смежных и вертикальных углов, которые образуются при пересечении прямых.

AOD

Углы $∠AOC$ и $∠AOD$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $CD$. Сумма смежных углов равна $180°$.

$∠AOD + ∠AOC = 180°$

Исходя из условия, $∠AOC = 70°$. Подставим это значение в формулу:

$∠AOD + 70° = 180°$

$∠AOD = 180° - 70° = 110°$

Ответ: $∠AOD = 110°$.

AOM

1. Углы $∠AOK$ и $∠MOB$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $MK$. Вертикальные углы равны, следовательно:

$∠AOK = ∠MOB = 15°$

2. Угол $∠AOC$ состоит из двух смежных ему углов $∠AOK$ и $∠KOC$. Таким образом:

$∠AOC = ∠AOK + ∠KOC$

$70° = 15° + ∠KOC$

$∠KOC = 70° - 15° = 55°$

3. Углы $∠MOD$ и $∠KOC$ являются вертикальными (образованы пересечением прямых $CD$ и $MK$), поэтому они равны:

$∠MOD = ∠KOC = 55°$

4. Угол $∠AOD$ состоит из двух смежных ему углов $∠AOM$ и $∠MOD$.

$∠AOD = ∠AOM + ∠MOD$

Мы уже нашли, что $∠AOD = 110°$ и $∠MOD = 55°$. Подставляем эти значения:

$110° = ∠AOM + 55°$

$∠AOM = 110° - 55° = 55°$

Ответ: $∠AOM = 55°$.

DOK

1. Углы $∠KOC$ и $∠KOD$ являются смежными, так как они лежат на прямой $CD$. Их сумма равна $180°$.

$∠KOC + ∠KOD = 180°$

2. Из предыдущих вычислений мы знаем, что $∠KOC = 55°$.

$55° + ∠KOD = 180°$

$∠KOD = 180° - 55° = 125°$

Угол $∠DOK$ - это тот же самый угол, что и $∠KOD$.

Ответ: $∠DOK = 125°$.

114. Перерисуйте в тетрадь рисунок 101. Пользуясь угольником, проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $a$.

Рис. 101

а

б

в

г

115. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть даны два смежных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$.
Тогда их сумма равна: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.
Пусть $l_1$ — биссектриса угла $\angle 1$. Она делит его на два угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle 1$.
Пусть $l_2$ — биссектриса угла $\angle 2$. Она делит его на два угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle 2$.

Угол между биссектрисами $l_1$ и $l_2$ будет состоять из суммы двух половин исходных углов: одной половины от $\angle 1$ и одной половины от $\angle 2$.
Обозначим искомый угол как $\alpha$. Тогда:
$\alpha = \frac{1}{2}\angle 1 + \frac{1}{2}\angle 2$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\alpha = \frac{1}{2}(\angle 1 + \angle 2)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Подставим это значение в наше выражение:
$\alpha = \frac{1}{2}(180^\circ)$
$\alpha = 90^\circ$

Следовательно, угол между биссектрисами смежных углов всегда является прямым углом.

Ответ: $90^\circ$.

115. Проведите прямую $c$ и отметьте на ней точку $K$. Пользуясь угольником, проведите через точку $K$ прямую, перпендикулярную прямой $c$.

116. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.

Пусть две прямые пересекаются в точке $O$, образуя две пары вертикальных углов. Рассмотрим одну пару вертикальных углов, $∠AOC$ и $∠BOD$.

По свойству вертикальных углов, они равны. Обозначим их величину как $\alpha$:
$∠AOC = ∠BOD = \alpha$

Проведем биссектрису $OK$ угла $∠AOC$ и биссектрису $OM$ угла $∠BOD$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$∠KOC = \frac{∠AOC}{2} = \frac{\alpha}{2}$
$∠BOM = \frac{∠BOD}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Угол между биссектрисами $OK$ и $OM$ — это угол $∠KOM$. Чтобы найти его величину, можно сложить углы, из которых он состоит. Эти углы — $∠KOC$, $∠COB$ и $∠BOM$.

Угол $∠COB$ является смежным с углом $∠AOC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:
$∠COB = 180^\circ - ∠AOC = 180^\circ - \alpha$

Теперь найдем угол $∠KOM$ как сумму трех углов:
$∠KOM = ∠KOC + ∠COB + ∠BOM$

Подставим известные значения:
$∠KOM = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$

Сгруппируем слагаемые и упростим выражение:
$∠KOM = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) + 180^\circ - \alpha = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами вертикальных углов равен $180^\circ$. Это означает, что биссектрисы лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами, образуя развернутый угол.

Ответ: $180^\circ$.

116. Проведите прямую $d$ и отметьте точку $M$, не принадлежащую ей.

С помощью угольника проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $d$.

117. Углы $ABF$ и $FBC$ смежные, $\angle ABF = 80^\circ$, луч $BD$ принадлежит углу $ABF$, $\angle ABD = 30^\circ$. Найдите угол между биссектрисами углов $DBF$ и $FBC$.

Решение

1. По условию, углы $∠ABF$ и $∠FBC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180°$. Зная, что $∠ABF = 80°$, мы можем найти величину угла $∠FBC$:
$∠FBC = 180° - ∠ABF = 180° - 80° = 100°$.

2. Луч $BD$ принадлежит углу $∠ABF$. Это означает, что угол $∠ABF$ состоит из двух углов: $∠ABD$ и $∠DBF$. По условию $∠ABD = 30°$. Найдем величину угла $∠DBF$:
$∠DBF = ∠ABF - ∠ABD = 80° - 30° = 50°$.

3. Нам нужно найти угол между биссектрисами углов $∠DBF$ и $∠FBC$. Обозначим биссектрису угла $∠DBF$ как $BM$, а биссектрису угла $∠FBC$ как $BN$.
По определению, биссектриса делит угол пополам. Найдем величины углов, образованных биссектрисами:
- Угол, образованный биссектрисой $BM$: $∠MBF = \frac{1}{2} ∠DBF = \frac{1}{2} \cdot 50° = 25°$.
- Угол, образованный биссектрисой $BN$: $∠FBN = \frac{1}{2} ∠FBC = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$.

4. Искомый угол между биссектрисами $BM$ и $BN$ — это угол $∠MBN$. Он равен сумме углов $∠MBF$ и $∠FBN$, так как луч $BF$ находится между лучами $BM$ и $BN$.
$∠MBN = ∠MBF + ∠FBN = 25° + 50° = 75°$.

Ответ: $75°$.

117. Начертите угол $ABK$, равный: 1) $73^\circ$; 2) $146^\circ$. Отметьте на луче $BK$ точку $C$ и проведите через неё прямые, перпендикулярные прямым $AB$ и $BK$.

118. Углы $AOB$ и $BOC$ смежные, луч $OD$ – биссектриса угла $AOB$, угол $BOD$ на $18^\circ$ меньше угла $BOC$. Найдите углы $AOB$ и $BOC$.

Поскольку углы $AOB$ и $BOC$ смежные, их сумма равна $180^\circ$.

$ \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ $

Луч $OD$ является биссектрисой угла $AOB$, это означает, что он делит угол $AOB$ на два равных угла: $ \angle AOD = \angle BOD $. Следовательно, величина угла $AOB$ в два раза больше величины угла $BOD$.

$ \angle AOB = 2 \cdot \angle BOD $

По условию задачи, угол $BOD$ на $18^\circ$ меньше угла $BOC$. Это можно записать в виде уравнения:

$ \angle BOD = \angle BOC - 18^\circ $, откуда $ \angle BOC = \angle BOD + 18^\circ $.

Теперь подставим выражения для углов $AOB$ и $BOC$ в формулу суммы смежных углов. Обозначим $ \angle BOD $ за $x$.

Тогда $ \angle AOB = 2x $ и $ \angle BOC = x + 18^\circ $.

Составим и решим уравнение:

$ 2x + (x + 18^\circ) = 180^\circ $

$ 3x + 18^\circ = 180^\circ $

$ 3x = 180^\circ - 18^\circ $

$ 3x = 162^\circ $

$ x = 162^\circ / 3 $

$ x = 54^\circ $

Мы нашли, что $ \angle BOD = 54^\circ $. Теперь найдем искомые углы $AOB$ и $BOC$.

$ \angle AOB = 2x = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ $

$ \angle BOC = x + 18^\circ = 54^\circ + 18^\circ = 72^\circ $

Проверим: $ \angle AOB + \angle BOC = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ $. Условие о смежных углах выполняется.

Ответ: $ \angle AOB = 108^\circ $, $ \angle BOC = 72^\circ $.

118. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:

1) пересекались;

2) не имели общих точек;

3) имели общий конец.

119. Найдите смежные углы $MKE$ и $PKE$, если угол $FKE$ на $24^\circ$ больше угла $PKE$, где луч $KF$ – биссектриса угла $MKE$.

Пусть величина угла $∠PKE$ равна $x$.

Согласно условию, угол $∠FKE$ на $24°$ больше угла $∠PKE$. Значит, можно записать:
$∠FKE = ∠PKE + 24° = x + 24°$

Луч $KF$ является биссектрисой угла $∠MKE$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла, то есть $∠MKF = ∠FKE$. Следовательно, угол $∠MKE$ вдвое больше угла $∠FKE$:
$∠MKE = 2 \cdot ∠FKE = 2 \cdot (x + 24°) = 2x + 48°$

Углы $∠MKE$ и $∠PKE$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180°$. Составим уравнение:
$∠MKE + ∠PKE = 180°$

Подставим в это уравнение выражения для углов через $x$:
$(2x + 48°) + x = 180°$
$3x + 48° = 180°$
$3x = 180° - 48°$
$3x = 132°$
$x = \frac{132°}{3}$
$x = 44°$

Мы нашли величину угла $∠PKE$:
$∠PKE = x = 44°$

Теперь найдем величину угла $∠MKE$:
$∠MKE = 2x + 48° = 2 \cdot 44° + 48° = 88° + 48° = 136°$

Проверка: $∠MKE + ∠PKE = 136° + 44° = 180°$. Условие для смежных углов выполняется.

Ответ: $∠MKE = 136°$, $∠PKE = 44°$.

119. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они: 1) пересекались; 2) не имели общих точек.

120. На рисунке 98 $\angle MAB + \angle ACB = 180^{\circ}$. Докажите, что $\angle MAB = \angle KCB$.

Рис. 98

Рассмотрим углы $ \angle ACB $ и $ \angle KCB $. Поскольку точки A, C, K лежат на одной прямой, эти углы являются смежными. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $, следовательно, мы можем записать следующее равенство:

$ \angle ACB + \angle KCB = 180^\circ $

По условию задачи нам дано другое равенство:

$ \angle MAB + \angle ACB = 180^\circ $

Так как правые части обоих равенств равны ($ 180^\circ $), то мы можем приравнять их левые части:

$ \angle MAB + \angle ACB = \angle KCB + \angle ACB $

Теперь вычтем из обеих частей этого равенства величину угла $ \angle ACB $:

$ \angle MAB + \angle ACB - \angle ACB = \angle KCB + \angle ACB - \angle ACB $

В результате получаем:

$ \angle MAB = \angle KCB $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle MAB = \angle KCB $ доказано.

Упражнения

Рис. 102

120. На рисунке 102 прямые $AC$ и $DK$ – перпендикулярные. Перпендикулярны ли:

1) отрезки $AB$ и $BK$;

2) отрезки $BC$ и $DF$;

3) лучи $BC$ и $BK$;

4) отрезок $AB$ и луч $FD$?

121. На рисунке 99 $ \angle MBC = \angle BEF $. Докажите, что $ \angle ABE + \angle BED = 180^\circ $.

Рис. 99

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами углов, образующихся при пересечении прямых.

1. Рассмотрим пересечение прямой AC и секущей ME в точке B. Углы $\angle{ABE}$ и $\angle{MBC}$ являются вертикальными, так как они образованы двумя пересекающимися прямыми. По свойству вертикальных углов, они равны:

$\angle{ABE} = \angle{MBC}$

2. Согласно условию задачи, нам дано равенство:

$\angle{MBC} = \angle{BEF}$

3. Сопоставляя равенства из пунктов 1 и 2, по свойству транзитивности мы можем заключить, что:

$\angle{ABE} = \angle{BEF}$

4. Теперь рассмотрим углы, лежащие на прямой DF. Углы $\angle{BED}$ и $\angle{BEF}$ являются смежными, поскольку вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$:

$\angle{BED} + \angle{BEF} = 180^\circ$

5. В последнем равенстве заменим угол $\angle{BEF}$ на равный ему угол $\angle{ABE}$ (основываясь на выводе из пункта 3). Получим:

$\angle{BED} + \angle{ABE} = 180^\circ$

Таким образом, мы доказали, что $\angle{ABE} + \angle{BED} = 180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.

121. Может ли угол между прямыми быть равным:

1) $1^\circ$;

2) $90^\circ$;

3) $92^\circ$?

122. Два угла имеют общую сторону, а их сумма равна $180^\circ$. Можно ли утверждать, что эти углы являются смежными?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить точное определение смежных углов. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой и вместе образуют развернутый угол.

Из определения смежных углов следует, что их сумма всегда равна $180^\circ$. В задаче же предлагается рассмотреть обратное утверждение: если два угла имеют общую сторону и их сумма равна $180^\circ$, являются ли они смежными?

Нет, этого утверждать нельзя. Условия, приведенные в задаче, являются необходимыми, но не достаточными для того, чтобы углы были смежными. Пропущено важное условие о том, что не-общие стороны углов должны лежать на одной прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим контрпример.

Пусть у нас есть два угла, $\angle AOB$ и $\angle BOC$, с общей стороной $OB$. В отличие от смежных углов, расположим их так, чтобы луч $OC$ находился не с другой стороны от луча $OB$ относительно луча $OA$, а внутри угла $\angle AOB$.

Зададим величину одного из углов. Пусть $\angle BOC = 60^\circ$.

Согласно условию задачи, сумма углов должна быть равна $180^\circ$, значит, второй угол $\angle AOB$ должен быть равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Поскольку по нашему построению луч $OC$ лежит внутри угла $\angle AOB$, то градусная мера угла $\angle AOB$ равна сумме градусных мер углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$. То есть, $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.

Подставим известные значения в это равенство: $120^\circ = \angle AOC + 60^\circ$.

Отсюда мы можем найти угол между не-общими сторонами $OA$ и $OC$: $\angle AOC = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

В результате мы имеем два угла, $\angle AOB = 120^\circ$ и $\angle BOC = 60^\circ$. Они удовлетворяют условиям задачи:

1. У них есть общая сторона $OB$.
2. Их сумма равна $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Однако эти углы не являются смежными, потому что их не-общие стороны $OA$ и $OC$ не лежат на одной прямой. Угол между ними составляет $60^\circ$, а не $180^\circ$.

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что эти углы являются смежными. Для этого не хватает условия, что их не-общие стороны должны лежать на одной прямой.

122. Докажите, что если биссектрисы углов $AOB$ и $BOC$ перпендикулярны, то точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой.