Номер 122, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 122, страница 36.

122. Два угла имеют общую сторону, а их сумма равна $180^\circ$. Можно ли утверждать, что эти углы являются смежными?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить точное определение смежных углов. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой и вместе образуют развернутый угол.

Из определения смежных углов следует, что их сумма всегда равна $180^\circ$. В задаче же предлагается рассмотреть обратное утверждение: если два угла имеют общую сторону и их сумма равна $180^\circ$, являются ли они смежными?

Нет, этого утверждать нельзя. Условия, приведенные в задаче, являются необходимыми, но не достаточными для того, чтобы углы были смежными. Пропущено важное условие о том, что не-общие стороны углов должны лежать на одной прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим контрпример.

Пусть у нас есть два угла, $\angle AOB$ и $\angle BOC$, с общей стороной $OB$. В отличие от смежных углов, расположим их так, чтобы луч $OC$ находился не с другой стороны от луча $OB$ относительно луча $OA$, а внутри угла $\angle AOB$.

Зададим величину одного из углов. Пусть $\angle BOC = 60^\circ$.

Согласно условию задачи, сумма углов должна быть равна $180^\circ$, значит, второй угол $\angle AOB$ должен быть равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Поскольку по нашему построению луч $OC$ лежит внутри угла $\angle AOB$, то градусная мера угла $\angle AOB$ равна сумме градусных мер углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$. То есть, $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.

Подставим известные значения в это равенство: $120^\circ = \angle AOC + 60^\circ$.

Отсюда мы можем найти угол между не-общими сторонами $OA$ и $OC$: $\angle AOC = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

В результате мы имеем два угла, $\angle AOB = 120^\circ$ и $\angle BOC = 60^\circ$. Они удовлетворяют условиям задачи:

1. У них есть общая сторона $OB$.
2. Их сумма равна $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Однако эти углы не являются смежными, потому что их не-общие стороны $OA$ и $OC$ не лежат на одной прямой. Угол между ними составляет $60^\circ$, а не $180^\circ$.

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что эти углы являются смежными. Для этого не хватает условия, что их не-общие стороны должны лежать на одной прямой.

122. Докажите, что если биссектрисы углов $AOB$ и $BOC$ перпендикулярны, то точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой.