Номер 115, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 115, страница 36.

115. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть даны два смежных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$.
Тогда их сумма равна: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.
Пусть $l_1$ — биссектриса угла $\angle 1$. Она делит его на два угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle 1$.
Пусть $l_2$ — биссектриса угла $\angle 2$. Она делит его на два угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle 2$.

Угол между биссектрисами $l_1$ и $l_2$ будет состоять из суммы двух половин исходных углов: одной половины от $\angle 1$ и одной половины от $\angle 2$.
Обозначим искомый угол как $\alpha$. Тогда:
$\alpha = \frac{1}{2}\angle 1 + \frac{1}{2}\angle 2$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\alpha = \frac{1}{2}(\angle 1 + \angle 2)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Подставим это значение в наше выражение:
$\alpha = \frac{1}{2}(180^\circ)$
$\alpha = 90^\circ$

Следовательно, угол между биссектрисами смежных углов всегда является прямым углом.

Ответ: $90^\circ$.

115. Проведите прямую $c$ и отметьте на ней точку $K$. Пользуясь угольником, проведите через точку $K$ прямую, перпендикулярную прямой $c$.