Номер 111, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 111, страница 35.

111. Найдите углы, образованные в результате пересечения двух прямых, если:

1) сумма двух из них равна $106^\circ$;

2) сумма трёх из них равна $305^\circ$.

1) При пересечении двух прямых образуются четыре угла: две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Сумма смежных углов равна $180°$.
Рассмотрим сумму двух углов, которая по условию равна $106°$.
Эти два угла не могут быть смежными, так как их сумма ($106°$) не равна $180°$.
Следовательно, это могут быть только равные между собой вертикальные углы. Пусть величина каждого из этих углов равна $\alpha$.
Тогда их сумма равна $2\alpha = 106°$, откуда находим $\alpha$:
$\alpha = 106° / 2 = 53°$.
Итак, два угла из четырех равны по $53°$.
Два других угла также являются вертикальными и равны между собой. Обозначим их величину как $\beta$. Угол $\beta$ является смежным с углом $\alpha$, поэтому их сумма равна $180°$.
$\beta = 180° - \alpha = 180° - 53° = 127°$.
Таким образом, при пересечении образовались две пары углов: два угла по $53°$ и два угла по $127°$.
Ответ: $53°, 127°, 53°, 127°$.

2) Сумма всех четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, всегда составляет полный угол, то есть $360°$.
По условию, сумма трёх из этих углов равна $305°$.
Мы можем найти величину четвертого угла, вычтя сумму трёх известных углов из общей суммы $360°$:
Четвертый угол $= 360° - 305° = 55°$.
Итак, мы нашли один из углов, он равен $55°$. Угол, вертикальный ему, также равен $55°$.
Остальные два угла являются смежными с углом в $55°$. Зная, что сумма смежных углов равна $180°$, найдем их величину:
Смежный угол $= 180° - 55° = 125°$.
Угол, вертикальный этому, также равен $125°$.
Таким образом, при пересечении образовались две пары углов: два угла по $55°$ и два угла по $125°$.
Проверим: сумма трёх углов $55° + 125° + 125° = 305°$. Условие задачи выполняется.
Ответ: $55°, 125°, 55°, 125°$.

111. На рисунке 90 $\angle MBC = \angle BEF$. Докажите, что $\angle ABE + \angle BED = 180^\circ$.

Рис. 90