Страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

76. Из вершины прямого угла BOM (рис. 79) провели два луча OA и OC так, что $\angle BOC = 74^\circ$, $\angle AOM = 62^\circ$. Найдите угол AOC.

Рис. 79

По условию задачи, угол $BOM$ является прямым, следовательно, его величина равна $90°$.

$\angle{BOM} = 90°$.

Внутри этого угла проведены два луча $OA$ и $OC$. Из рисунка видно, что угол $BOM$ складывается из углов $BOA$, $AOC$ и $COM$. То есть, $\angle{BOM} = \angle{BOA} + \angle{AOC} + \angle{COM}$.

Нам даны два угла, которые частично перекрываются:

1. $\angle{BOC} = 74°$. Этот угол состоит из двух частей: $\angle{BOC} = \angle{BOA} + \angle{AOC}$.

2. $\angle{AOM} = 62°$. Этот угол также состоит из двух частей: $\angle{AOM} = \angle{AOC} + \angle{COM}$.

Чтобы найти искомый угол $\angle{AOC}$, можно использовать свойство сложения углов. Сложим величины известных нам углов $\angle{BOC}$ и $\angle{AOM}$:

$\angle{BOC} + \angle{AOM} = (\angle{BOA} + \angle{AOC}) + (\angle{AOC} + \angle{COM})$

Перегруппируем слагаемые в правой части равенства:

$\angle{BOC} + \angle{AOM} = (\angle{BOA} + \angle{AOC} + \angle{COM}) + \angle{AOC}$

Выражение в скобках $(\angle{BOA} + \angle{AOC} + \angle{COM})$ равно всему углу $\angle{BOM}$.

Следовательно, мы можем записать:

$\angle{BOC} + \angle{AOM} = \angle{BOM} + \angle{AOC}$

Теперь подставим известные значения в это уравнение:

$74° + 62° = 90° + \angle{AOC}$

$136° = 90° + \angle{AOC}$

Из этого уравнения выразим величину угла $\angle{AOC}$:

$\angle{AOC} = 136° - 90°$

$\angle{AOC} = 46°$

Ответ: $46°$

76. Найдите угол между стрелками часов, если они показывают:

1) 3 ч;

2) 6 ч;

3) 4 ч;

4) 11 ч;

5) 7 ч.

77. Из вершины развёрнутого угла $ACP$ (рис. 80) провели два луча $CT$ и $CF$ так, что $\angle ACF = 158^\circ$, $\angle TCP = 134^\circ$. Найдите угол $TCF$.

Рис. 80

По условию задачи, угол $ACP$ является развёрнутым, а значит его градусная мера равна $180^\circ$.

$ \angle ACP = 180^\circ $

Нам даны два угла: $ \angle ACF = 158^\circ $ и $ \angle TCP = 134^\circ $.

Для решения задачи можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1. Через нахождение вспомогательных углов.

1. Углы $ACT$ и $TCP$ вместе образуют развёрнутый угол $ACP$. Найдём величину угла $ACT$:

$ \angle ACT = \angle ACP - \angle TCP = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ $

2. Угол $ACF$ состоит из суммы углов $ACT$ и $TCF$. Так как мы знаем величины углов $ACF$ и $ACT$, мы можем найти искомый угол $TCF$:

$ \angle ACF = \angle ACT + \angle TCF $

$ \angle TCF = \angle ACF - \angle ACT = 158^\circ - 46^\circ = 112^\circ $

Способ 2. Через сложение углов.

1. Рассмотрим сумму данных нам углов $ACF$ и $TCP$.

$ \angle ACF + \angle TCP = 158^\circ + 134^\circ = 292^\circ $

2. Эта сумма включает в себя весь развёрнутый угол $ACP$ ($180^\circ$), при этом область угла $TCF$ (пересечение углов $ACF$ и $TCP$) учитывается дважды.

$ \angle ACF + \angle TCP = (\angle ACT + \angle TCF + \angle FCP) + \angle TCF $

Поскольку $ \angle ACT + \angle TCF + \angle FCP = \angle ACP = 180^\circ $, то:

$ \angle ACF + \angle TCP = \angle ACP + \angle TCF $

3. Выразим из этого уравнения искомый угол $TCF$:

$ \angle TCF = (\angle ACF + \angle TCP) - \angle ACP $

$ \angle TCF = 292^\circ - 180^\circ = 112^\circ $

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $112^\circ$

77. Угол $ABC$ равен $30^\circ$, угол $CBD$ – $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Сколько решений имеет задача?

78. Точки $A$, $B$ и $C$ расположены на прямой так, что $AB = 3,2$ см, $AC = 4,8$ см, $BC = 8$ см. Являются ли лучи $AB$ и $AC$ дополнительными?

Для того чтобы лучи AB и AC были дополнительными, они должны удовлетворять двум условиям:
1. Иметь общее начало. В данном случае это точка A.
2. Быть направленными в противоположные стороны, образуя вместе прямую.

Второе условие будет выполняться, если точка A лежит на отрезке BC. Согласно аксиоме измерения отрезков, если точка A лежит между точками B и C, то длина отрезка BC должна быть равна сумме длин отрезков AB и AC. Проверим это равенство: $BC = AB + AC$.

По условию задачи нам даны следующие длины:
$AB = 3,2$ см
$AC = 4,8$ см
$BC = 8$ см

Найдем сумму длин отрезков AB и AC:
$AB + AC = 3,2 \text{ см} + 4,8 \text{ см} = 8,0 \text{ см}$.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка BC:
$8,0 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Поскольку равенство $AB + AC = BC$ выполняется, точка A действительно лежит между точками B и C. Это означает, что лучи AB и AC исходят из одной точки A и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. Следовательно, они являются дополнительными.

Ответ: Да, лучи AB и AC являются дополнительными.

78. Найдите угол $MOK$, если $\angle MON = 120^\circ$, $\angle KON = 43^\circ$. Сколько решений имеет задача?

79. На рисунке 81 угол $\angle ABC$ – прямой, $\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC$, лучи $BD$ и $BK$ – биссектрисы углов $\angle ABE$ и $\angle FBC$ соответственно. Найдите угол $\angle DBK$.

Рис. 81

По условию задачи угол $ABC$ является прямым, следовательно, его градусная мера равна $90^\circ$.

$\angle ABC = 90^\circ$

Известно, что угол $ABC$ состоит из трех равных углов: $\angle ABE$, $\angle EBF$ и $\angle FBC$.

$\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC$

Сумма этих углов равна углу $ABC$:

$\angle ABE + \angle EBF + \angle FBC = \angle ABC$

Так как эти три угла равны, можно записать:

$3 \cdot \angle EBF = 90^\circ$

Отсюда находим градусную меру каждого из этих углов:

$\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ$

Луч $BD$ — биссектриса угла $ABE$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно:

$\angle DBE = \frac{1}{2} \angle ABE = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$

Луч $BK$ — биссектриса угла $FBC$. Аналогично, она делит угол $FBC$ пополам:

$\angle FBK = \frac{1}{2} \angle FBC = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$

Искомый угол $DBK$ состоит из суммы трех углов: $\angle DBE$, $\angle EBF$ и $\angle FBK$.

$\angle DBK = \angle DBE + \angle EBF + \angle FBK$

Подставляем найденные значения углов:

$\angle DBK = 15^\circ + 30^\circ + 15^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

79. Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $45^\circ$.

80. На рисунке 82 $\angle AOC = \angle COD = \angle DOF$, луч $OB$ – биссектриса угла $AOC$, луч $OE$ – биссектриса угла $DOF$, $\angle BOE = 72^\circ$. Найдите угол $AOF$.

Рис. 82

По условию задачи, углы $\angle AOC$, $\angle COD$ и $\angle DOF$ равны. Обозначим величину каждого из этих углов через $x$:

$\angle AOC = \angle COD = \angle DOF = x$

Луч OB является биссектрисой угла $\angle AOC$. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:

$\angle BOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{x}{2}$

Аналогично, луч OE является биссектрисой угла $\angle DOF$, следовательно:

$\angle DOE = \frac{\angle DOF}{2} = \frac{x}{2}$

Из рисунка видно, что угол $\angle BOE$ состоит из суммы трех смежных углов: $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOE$. По условию, $\angle BOE = 72^\circ$. Можем составить уравнение:

$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$

Подставим выражения для углов через $x$:

$72^\circ = \frac{x}{2} + x + \frac{x}{2}$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$72^\circ = (\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2})x$

$72^\circ = 2x$

$x = \frac{72^\circ}{2}$

$x = 36^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle AOC = \angle COD = \angle DOF = 36^\circ$.

Теперь найдем искомый угол $\angle AOF$. Он равен сумме трех углов:

$\angle AOF = \angle AOC + \angle COD + \angle DOF$

Подставим найденное значение угла:

$\angle AOF = 36^\circ + 36^\circ + 36^\circ = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Ответ: $108^\circ$.

80. Как, имея шаблон угла, равного $70^{\circ}$, построить угол, равный $40^{\circ}$?

81. На рисунке 83 $\angle AOB = \angle DOC$. Есть ли ещё на этом рисунке равные углы? Ответ обоснуйте.

Рис. 83

Да, на этом рисунке есть еще одна пара равных углов: $\angle AOC$ и $\angle BOD$.

Обоснование:

Угол $\angle AOC$ является суммой двух углов: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Следовательно, его величину можно записать в виде суммы:
$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.

Аналогично, угол $\angle BOD$ является суммой углов $\angle BOC$ и $\angle DOC$. Его величина равна:
$\angle BOD = \angle BOC + \angle DOC$.

По условию задачи дано, что $\angle AOB = \angle DOC$. Это ключевое равенство для нашего доказательства. Если к равным величинам прибавить одну и ту же величину (в нашем случае это угол $\angle BOC$), то равенство сохранится. Прибавим $\angle BOC$ к обеим частям исходного равенства:
$\angle AOB + \angle BOC = \angle DOC + \angle BOC$.

Левая часть полученного равенства ($\angle AOB + \angle BOC$) соответствует углу $\angle AOC$.
Правая часть равенства ($\angle DOC + \angle BOC$) соответствует углу $\angle BOD$.
Таким образом, мы приходим к выводу, что $\angle AOC = \angle BOD$.

Ответ: да, на рисунке также равны углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$.

81. Как, имея шаблон угла, равного $40^\circ$, построить угол, равный:

1) $80^\circ$;

2) $160^\circ$;

3) $20^\circ$?

82. Углы $FOK$ и $MOE$ равны (рис. 84). Равны ли углы $FOM$ и $KOE$?

Рис. 84

Согласно условию задачи, углы $FOK$ и $MOE$ равны. Запишем это в виде математического равенства:
$\angle FOK = \angle MOE$

Из рисунка 84 видно, что угол $FOK$ состоит из двух углов, $FOM$ и $MOK$. Следовательно, его величину можно представить как их сумму:
$\angle FOK = \angle FOM + \angle MOK$

Аналогично, угол $MOE$ состоит из углов $MOK$ и $KOE$. Его величину можно представить как сумму этих двух углов:
$\angle MOE = \angle MOK + \angle KOE$

Так как по условию $\angle FOK = \angle MOE$, мы можем приравнять выражения для этих углов:
$\angle FOM + \angle MOK = \angle MOK + \angle KOE$

Угол $MOK$ является общей частью для обеих сторон равенства. Если вычесть величину этого общего угла из обеих частей, равенство останется верным:
$\angle FOM + \angle MOK - \angle MOK = \angle MOK + \angle KOE - \angle MOK$

После упрощения получаем:
$\angle FOM = \angle KOE$

Таким образом, мы доказали, что углы $FOM$ и $KOE$ равны.

Ответ: да, углы $FOM$ и $KOE$ равны.

82. Как, используя шаблон угла, равного $13^\circ$, построить угол, равный $2^\circ$?

83. Угол $ABC$ – развёрнутый. Луч $BK$ является биссектрисой угла $CBD$, $\angle ABK = 146^\circ$ (рис. 85). Найдите угол $CBD$.

Рис. 85

Поскольку угол $ABC$ является развёрнутым, его градусная мера составляет $180^\circ$. Углы $ABK$ и $KBC$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $BK$, а стороны $BA$ и $BC$ являются продолжениями друг друга (образуют прямую). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Исходя из этого, мы можем найти величину угла $KBC$:
$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.

В условии сказано, что луч $BK$ является биссектрисой угла $CBD$. Биссектриса делит угол на два равных по величине угла, следовательно: $\angle CBK = \angle KBD$.

Таким образом, полный угол $CBD$ равен удвоенному углу $CBK$ (который мы уже нашли как $\angle KBC$):
$\angle CBD = 2 \cdot \angle CBK = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$.

Ответ: $68^\circ$.

83. Как построить угол, равный $1^{\circ}$, используя шаблон угла, равного:

1) $19^{\circ}$;

2) $7^{\circ}$?

84. Угол ABC – развёрнутый. Луч BK является биссектрисой угла CBD, $\angle CBD = 54^{\circ}$ (рис. 85). Найдите угол ABK.

Рис. 85

Поскольку угол $ABC$ является развёрнутым, его градусная мера составляет $180^\circ$. Углы $ABD$ и $CBD$ являются смежными, так как вместе они образуют развёрнутый угол $ABC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Зная, что $\angle CBD = 54^\circ$, мы можем найти величину угла $ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - \angle CBD = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$.

По условию, луч $BK$ является биссектрисой угла $CBD$. Биссектриса делит угол на две равные части. Следовательно, мы можем найти величину угла $KBD$:

$\angle KBD = \frac{\angle CBD}{2} = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$.

Искомый угол $ABK$ состоит из двух прилежащих углов: $ABD$ и $KBD$. Чтобы найти его величину, необходимо сложить их градусные меры:

$\angle ABK = \angle ABD + \angle KBD = 126^\circ + 27^\circ = 153^\circ$.

Ответ: $153^\circ$.

84. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, который меньше $31^\circ$?