Номер 77, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 77, страница 30.

77. Из вершины развёрнутого угла $ACP$ (рис. 80) провели два луча $CT$ и $CF$ так, что $\angle ACF = 158^\circ$, $\angle TCP = 134^\circ$. Найдите угол $TCF$.

Рис. 80

По условию задачи, угол $ACP$ является развёрнутым, а значит его градусная мера равна $180^\circ$.

$ \angle ACP = 180^\circ $

Нам даны два угла: $ \angle ACF = 158^\circ $ и $ \angle TCP = 134^\circ $.

Для решения задачи можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1. Через нахождение вспомогательных углов.

1. Углы $ACT$ и $TCP$ вместе образуют развёрнутый угол $ACP$. Найдём величину угла $ACT$:

$ \angle ACT = \angle ACP - \angle TCP = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ $

2. Угол $ACF$ состоит из суммы углов $ACT$ и $TCF$. Так как мы знаем величины углов $ACF$ и $ACT$, мы можем найти искомый угол $TCF$:

$ \angle ACF = \angle ACT + \angle TCF $

$ \angle TCF = \angle ACF - \angle ACT = 158^\circ - 46^\circ = 112^\circ $

Способ 2. Через сложение углов.

1. Рассмотрим сумму данных нам углов $ACF$ и $TCP$.

$ \angle ACF + \angle TCP = 158^\circ + 134^\circ = 292^\circ $

2. Эта сумма включает в себя весь развёрнутый угол $ACP$ ($180^\circ$), при этом область угла $TCF$ (пересечение углов $ACF$ и $TCP$) учитывается дважды.

$ \angle ACF + \angle TCP = (\angle ACT + \angle TCF + \angle FCP) + \angle TCF $

Поскольку $ \angle ACT + \angle TCF + \angle FCP = \angle ACP = 180^\circ $, то:

$ \angle ACF + \angle TCP = \angle ACP + \angle TCF $

3. Выразим из этого уравнения искомый угол $TCF$:

$ \angle TCF = (\angle ACF + \angle TCP) - \angle ACP $

$ \angle TCF = 292^\circ - 180^\circ = 112^\circ $

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $112^\circ$

77. Угол $ABC$ равен $30^\circ$, угол $CBD$ – $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Сколько решений имеет задача?