Номер 80, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 80, страница 30.

80. На рисунке 82 $\angle AOC = \angle COD = \angle DOF$, луч $OB$ – биссектриса угла $AOC$, луч $OE$ – биссектриса угла $DOF$, $\angle BOE = 72^\circ$. Найдите угол $AOF$.

Рис. 82

По условию задачи, углы $\angle AOC$, $\angle COD$ и $\angle DOF$ равны. Обозначим величину каждого из этих углов через $x$:

$\angle AOC = \angle COD = \angle DOF = x$

Луч OB является биссектрисой угла $\angle AOC$. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:

$\angle BOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{x}{2}$

Аналогично, луч OE является биссектрисой угла $\angle DOF$, следовательно:

$\angle DOE = \frac{\angle DOF}{2} = \frac{x}{2}$

Из рисунка видно, что угол $\angle BOE$ состоит из суммы трех смежных углов: $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOE$. По условию, $\angle BOE = 72^\circ$. Можем составить уравнение:

$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$

Подставим выражения для углов через $x$:

$72^\circ = \frac{x}{2} + x + \frac{x}{2}$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$72^\circ = (\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2})x$

$72^\circ = 2x$

$x = \frac{72^\circ}{2}$

$x = 36^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle AOC = \angle COD = \angle DOF = 36^\circ$.

Теперь найдем искомый угол $\angle AOF$. Он равен сумме трех углов:

$\angle AOF = \angle AOC + \angle COD + \angle DOF$

Подставим найденное значение угла:

$\angle AOF = 36^\circ + 36^\circ + 36^\circ = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Ответ: $108^\circ$.

80. Как, имея шаблон угла, равного $70^{\circ}$, построить угол, равный $40^{\circ}$?