Номер 79, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 79, страница 30.

79. На рисунке 81 угол $\angle ABC$ – прямой, $\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC$, лучи $BD$ и $BK$ – биссектрисы углов $\angle ABE$ и $\angle FBC$ соответственно. Найдите угол $\angle DBK$.

Рис. 81

По условию задачи угол $ABC$ является прямым, следовательно, его градусная мера равна $90^\circ$.

$\angle ABC = 90^\circ$

Известно, что угол $ABC$ состоит из трех равных углов: $\angle ABE$, $\angle EBF$ и $\angle FBC$.

$\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC$

Сумма этих углов равна углу $ABC$:

$\angle ABE + \angle EBF + \angle FBC = \angle ABC$

Так как эти три угла равны, можно записать:

$3 \cdot \angle EBF = 90^\circ$

Отсюда находим градусную меру каждого из этих углов:

$\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ$

Луч $BD$ — биссектриса угла $ABE$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно:

$\angle DBE = \frac{1}{2} \angle ABE = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$

Луч $BK$ — биссектриса угла $FBC$. Аналогично, она делит угол $FBC$ пополам:

$\angle FBK = \frac{1}{2} \angle FBC = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$

Искомый угол $DBK$ состоит из суммы трех углов: $\angle DBE$, $\angle EBF$ и $\angle FBK$.

$\angle DBK = \angle DBE + \angle EBF + \angle FBK$

Подставляем найденные значения углов:

$\angle DBK = 15^\circ + 30^\circ + 15^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

79. Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $45^\circ$.