Страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

58. Начертите угол $\angle MNE$ и проведите лучи NA и NC между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

1. Построим угол с вершиной в точке N и сторонами (лучами) NM и NE. Этот угол обозначается как $\angle MNE$.

2. Внутри этого угла проведём два луча, также исходящих из вершины N, — это лучи NA и NC. Например, расположим лучи в следующем порядке по часовой стрелке: NM, NA, NC, NE.

3. Теперь перечислим все углы, которые образовались. Угол образуется двумя лучами с общим началом. У нас есть четыре луча: NM, NA, NC, NE.

Мы можем систематически перечислить все возможные пары этих лучей:

• Углы, образованные соседними лучами: $\angle MNA$, $\angle ANC$, $\angle CNE$.
• Углы, составленные из двух соседних малых углов: $\angle MNC$ (состоит из $\angle MNA$ и $\angle ANC$) и $\angle ANE$ (состоит из $\angle ANC$ и $\angle CNE$).
• Исходный угол, состоящий из трех малых углов: $\angle MNE$.

Таким образом, мы получили 6 различных углов.

Ответ: $\angle MNA$, $\angle ANC$, $\angle CNE$, $\angle MNC$, $\angle ANE$, $\angle MNE$.

58. На рисунке 67 $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF.$

1) Какой луч является биссектрисой угла $AOC$? Угла $DOF$? Угла $BOF$?

2) Биссектрисой каких углов является луч $OC$?

Рис. 67

59. Проведите лучи $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ так, чтобы луч $OC$ проходил между сторонами угла $AOB$, а луч $OD$ – между сторонами угла $BOC$.

Задача заключается в том, чтобы правильно расположить четыре луча, исходящих из одной точки, согласно заданным условиям. Решение можно представить в виде пошагового построения:

1. На плоскости выберем произвольную точку О, которая будет служить общей вершиной для всех лучей.

2. Из точки О проведем два луча, OA и OB, так, чтобы они образовали угол AOB. Этот угол будет основным, внутри которого будут располагаться другие лучи.

3. Теперь выполним первое условие: «луч OC проходит между сторонами угла AOB». Это означает, что мы должны провести луч OC из той же точки O, но так, чтобы он оказался внутри угла AOB. Когда луч проходит между сторонами угла, он делит этот угол на два меньших. Таким образом, угол AOB делится на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. По основному свойству измерения углов, величина исходного угла равна сумме величин углов, на которые он разделен: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

4. Далее выполним второе условие: «луч OD проходит между сторонами угла BOC». Теперь мы работаем с углом BOC, который был образован на предыдущем шаге. Мы должны провести луч OD из точки O так, чтобы он находился внутри угла BOC. Этот луч разделит угол BOC на два еще меньших угла: $\angle COD$ и $\angle DOB$. Аналогично предыдущему шагу, будет выполняться равенство: $\angle BOC = \angle COD + \angle DOB$.

В результате такого построения лучи, исходящие из точки O, будут расположены в определенном порядке. Если смотреть от луча OA к лучу OB, то порядок будет следующим: OA, OC, OD, OB. При этом самый большой угол $\angle AOB$ будет состоять из трех последовательно расположенных углов: $\angle AOC$, $\angle COD$ и $\angle DOB$. Его общая величина будет равна сумме их величин, что можно вывести из полученных ранее равенств: $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = \angle AOC + (\angle COD + \angle DOB) = \angle AOC + \angle COD + \angle DOB$.

Ответ: Чтобы выполнить построение, нужно сначала начертить угол AOB. Затем внутри него провести луч OC. После этого внутри образовавшегося угла BOC провести луч OD. В результате лучи будут расположены в порядке OA, OC, OD, OB (или в обратном, если смотреть от OB к OA), а величина угла AOB будет равна сумме величин трех образовавшихся углов: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COD + \angle DOB$.

59. На рисунке 68 луч $OC$ – биссектриса угла $AOB$. Можно ли совместить наложением:

1) углы $AOC$ и $BOC$;

2) углы $AOC$ и $AOB$?

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68

60. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

1) точкой;

2) отрезком;

3) лучом.

60. Луч BD делит угол ABC на два угла. Найдите:

1) угол ABC, если $\angle ABD=54^{\circ}$, $\angle CBD=72^{\circ}$;

2) угол CBD, если $\angle ABC=158^{\circ}$, $\angle ABD=93^{\circ}$.

61. Прямая $EF$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ (рис. 72). Укажите:

1) все образовавшиеся лучи с началом в точке $M$;

2) все пары дополнительных лучей с началом в точке $K$.

Рис. 72

1) все образовавшиеся лучи с началом в точке M;

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца. Точка M является точкой пересечения прямых CD и EF. Следовательно, из точки M выходят лучи, лежащие на этих двух прямых.
На прямой CD находятся два луча с началом в точке M: луч, проходящий через точку C (луч MC), и луч, проходящий через точку D (луч MD).
На прямой EF находятся два луча с началом в точке M: луч, проходящий через точку E (луч ME), и луч, проходящий через точку F (луч MF).
Таким образом, всего с началом в точке M образовалось четыре луча.
Ответ: MC, MD, ME, MF.

2) все пары дополнительных лучей с началом в точке K.

Дополнительные (или противоположные) лучи — это два луча, которые имеют общее начало, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Вместе они образуют прямую.
Точка K является точкой пересечения прямых AB и EF. Рассмотрим пары лучей с началом в точке K, лежащие на этих прямых.
На прямой AB лучи KA и KB имеют общее начало в точке K и направлены в противоположные стороны. Следовательно, они являются парой дополнительных лучей.
Аналогично, на прямой EF лучи KE и KF имеют общее начало в точке K и направлены в противоположные стороны. Они также образуют пару дополнительных лучей.
Таким образом, существует две пары дополнительных лучей с началом в точке K.
Ответ: KA и KB; KE и KF.

61. Луч OP проходит между сторонами угла $MOK$. Найдите угол $MOP$, если $\angle MOK = 172^{\circ}$, $\angle POK = 85^{\circ}$.

62. Запишите все лучи, изображённые на рисунке 73. Укажите, какие из них являются дополнительными лучами с началом в точке O.

Рис. 73

Все лучи, изображённые на рисунке 73:

$OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $AO$, $BO$, $CO$, $DO$, $MO$, $MB$.

Дополнительные лучи с началом в точке O:

Дополнительными лучами с началом в точке O являются пары лучей:

$OA$ и $OB$

$OC$ и $OD$

Запишите все лучи, изображённые на рисунке 73.

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой (началом луча). На рисунке изображены две пересекающиеся прямые $AB$ и $CD$ с точкой пересечения $O$, а также точка $M$ на луче $OB$. Мы можем выделить следующие лучи:

1. Лучи с началом в точке $O$:

• Луч $OA$
• Луч $OB$. Точка $M$ принадлежит этому лучу, поэтому луч $OM$ — это тот же самый луч, что и $OB$.
• Луч $OC$
• Луч $OD$

2. Лучи с началом в точке $M$:

• Луч $MB$. Этот луч является частью луча $OB$.
• Луч $MO$. Этот луч проходит через точку $O$ и продолжается в направлении точки $A$, поэтому его можно также назвать лучом $MA$.

Таким образом, полный список всех различных лучей, изображённых на рисунке, следующий: $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $MB$, $MA$.

Ответ: $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $MA$, $MB$.

Укажите, какие из них являются дополнительными лучами с началом в точке O.

Дополнительные лучи — это два луча, которые имеют общее начало и вместе составляют прямую линию. Нам нужно найти такие пары среди лучей с началом в точке $O$.

Лучи с началом в точке $O$ — это $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$.

- Лучи $OA$ и $OB$ имеют общее начало в точке $O$ и лежат на одной прямой $AB$, направлены в противоположные стороны. Следовательно, они являются дополнительными.

- Лучи $OC$ и $OD$ имеют общее начало в точке $O$ и лежат на одной прямой $CD$, направлены в противоположные стороны. Следовательно, они также являются дополнительными.

Ответ: Парами дополнительных лучей с началом в точке $O$ являются: $OA$ и $OB$; $OC$ и $OD$.

62. Верно ли утверждение:

1) угол, который меньше тупого, – острый;

2) угол, который меньше развёрнутого, – тупой;

3) угол, в 2 раза меньший тупого, – острый;

4) сумма двух острых углов больше прямого угла;

5) угол, в 2 раза меньший развёрнутого угла, больше любого острого угла;

6) угол, который больше прямого, – тупой?

63. Можно ли угол, изображённый на рисунке 74, обозначить так:

1) $\angle ABC$

2) $\angle ACD$

3) $\angle ADC$

4) $\angle DCA$

5) $\angle ACE$

6) $\angle BCD$

7) $\angle BDE$

8) $\angle ECD?$

Рис. 74

1) $\angle ABC$
Нет. При обозначении угла тремя буквами, в середине указывается его вершина. В данном случае вершиной угла является точка B, а на рисунке 74 вершина угла находится в точке C.
Ответ: нет.

2) $\angle ACD$
Да. Вершина угла — точка C — указана в середине. Точки A и D лежат на разных сторонах угла, исходящих из вершины C. Следовательно, это обозначение является верным.
Ответ: да.

3) $\angle ADC$
Нет. В этом обозначении вершиной является точка D, в то время как на рисунке вершина угла — это точка C.
Ответ: нет.

4) $\angle DCA$
Да. Вершина угла — точка C — указана верно. Точки D и A находятся на разных сторонах угла. Это обозначение является верным и обозначает тот же угол, что и $\angle ACD$.
Ответ: да.

5) $\angle ACE$
Да. Вершина угла — C. Точки A и E лежат на разных сторонах угла. Это верное обозначение.
Ответ: да.

6) $\angle BCD$
Да. Вершина угла — C. Точки B и D лежат на разных сторонах угла. Это верное обозначение.
Ответ: да.

7) $\angle BDE$
Нет. Вершиной угла в этом обозначении является точка D, а не C. Кроме того, точки B, D, E не образуют угол, изображённый на рисунке.
Ответ: нет.

8) $\angle ECD$
Нет. Хотя вершина C указана правильно, точки E и D лежат на одной и той же прямой (луче), исходящей из вершины C. Угол образуется двумя лучами, выходящими из одной точки. Обозначение $\angle ECD$ соответствует углу в 0 градусов (нулевому углу), а не углу, изображённому на рисунке.
Ответ: нет.

63. Из вершины прямого угла BOM (рис. 69) провели два луча OA и OC так, что $\angle BOC = 74^\circ$, $\angle AOM = 62^\circ$. Найдите угол $\angle AOC$.

Рис. 69

64. Запишите все углы, изображённые на рисунке 75.

Рис. 75

$\angle BAC$
$\angle BAD$
$\angle BAE$
$\angle CAD$
$\angle CAE$
$\angle DAE$

На рисунке изображена фигура, состоящая из четырех лучей, выходящих из одной общей точки А. Эта точка является вершиной для всех углов. Лучи, образующие углы, это AB, AC, AD и AE.

Чтобы записать все углы, нужно systematically перечислить все возможные пары этих лучей. Угол обозначается тремя буквами, где средняя буква — это вершина угла.

1. Начнем с луча AB. Он образует углы с тремя другими лучами:

- с лучом AC образуется угол $\angle BAC$ (или $\angle CAB$);

- с лучом AD образуется угол $\angle BAD$ (или $\angle DAB$);

- с лучом AE образуется угол $\angle BAE$ (или $\angle EAB$).

2. Далее рассмотрим луч AC. Угол с лучом AB мы уже учли ($\angle BAC$). Найдем углы с оставшимися лучами:

- с лучом AD образуется угол $\angle CAD$ (или $\angle DAC$);

- с лучом AE образуется угол $\angle CAE$ (или $\angle EAC$).

3. Теперь рассмотрим луч AD. Углы с лучами AB и AC уже записаны ($\angle BAD$ и $\angle CAD$). Остается найти угол с лучом AE:

- с лучом AE образуется угол $\angle DAE$ (или $\angle EAD$).

Все возможные пары лучей рассмотрены. Таким образом, на рисунке изображено 6 углов.

Ответ: $\angle BAC$, $\angle BAD$, $\angle BAE$, $\angle CAD$, $\angle CAE$, $\angle DAE$.

64. Из вершины развёрнутого угла $ACP$ (рис. 70) провели два луча $CT$ и $CF$ так, что $\angle ACF = 158^\circ$, $\angle TCP = 134^\circ$. Найдите угол $TCF$.