Страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

85. На сколько градусов поворачивается за 1 мин:

1) минутная стрелка;

2) часовая стрелка?

1) минутная стрелка

Полный оборот циферблата часов представляет собой окружность, то есть $360^\circ$. Минутная стрелка проходит этот полный оборот за 60 минут. Чтобы найти, на какой угол она поворачивается за 1 минуту, необходимо общее количество градусов в окружности разделить на количество минут, за которое она совершает полный оборот.

Вычислим угловую скорость минутной стрелки:
$360^\circ \div 60 \text{ минут} = 6^\circ \text{ в минуту}$

Ответ: минутная стрелка поворачивается на $6^\circ$ за 1 минуту.

2) часовая стрелка

Часовая стрелка совершает полный оборот в $360^\circ$ за 12 часов. Сначала определим, на сколько градусов она поворачивается за 1 час.
$360^\circ \div 12 \text{ часов} = 30^\circ \text{ в час}$

Поскольку в 1 часе 60 минут, то за 60 минут часовая стрелка смещается на $30^\circ$. Чтобы найти, на сколько градусов часовая стрелка поворачивается за 1 минуту, разделим ее часовое смещение на 60 минут.

Вычислим угловую скорость часовой стрелки в минуту:
$30^\circ \div 60 \text{ минут} = 0.5^\circ \text{ в минуту}$

Ответ: часовая стрелка поворачивается на $0.5^\circ$ за 1 минуту.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

85. Не отрывая карандаша от бумаги, проведите через девять точек (рис. 77) четыре отрезка (возвращаться в исходную точку не обязательно).

Рис. 77

86. Найдите угол между стрелками часов, если они показывают:

1) 3 ч;

2) 6 ч;

3) 4 ч;

4) 11 ч;

5) 7 ч.

Для решения задачи необходимо понимать, как устроен циферблат аналоговых часов. Полный круг циферблата составляет $360^\circ$. Этот круг разделен на 12 часовых делений. Таким образом, угол, соответствующий одному часовому делению (например, между цифрами 1 и 2), равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Во всех указанных случаях время ровное, то есть минутная стрелка указывает точно на 12. Положение часовой стрелки указывает на соответствующий час. Угол между стрелками можно найти, умножив количество часовых делений между ними на $30^\circ$. При этом по условию обычно ищут наименьший угол между стрелками.

1) 3 ч

В 3:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3. Между ними 3 часовых деления. Угол между стрелками составляет: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) 6 ч

В 6:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 6. Между ними 6 часовых делений. Угол между стрелками составляет: $6 \times 30^\circ = 180^\circ$. В этом случае стрелки образуют развернутый угол (прямую линию).

Ответ: $180^\circ$.

3) 4 ч

В 4:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 4. Между ними 4 часовых деления. Угол между стрелками составляет: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

4) 11 ч

В 11:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 11. Если двигаться от часовой стрелки к минутной по ходу их движения, между ними будет 1 часовое деление (от 11 до 12). Угол между стрелками равен: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$.
Если считать в обратную сторону, то между стрелками 11 делений, что соответствует углу $11 \times 30^\circ = 330^\circ$. Мы ищем меньший угол, который равен $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

5) 7 ч

В 7:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 7. Если двигаться по часовой стрелке, между ними 7 часовых делений. Это соответствует углу $7 \times 30^\circ = 210^\circ$. Так как этот угол больше $180^\circ$, мы ищем меньший угол, который равен $360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$.
Также можно посчитать количество делений в другую сторону: от 7 до 12 всего 5 часовых делений. Тогда угол равен $5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

86. Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них постройте смежный угол.

87. Угол $\angle ABC$ равен $30^\circ$, угол $\angle CBD - 80^\circ$. Найдите угол $\angle ABD$. Сколько решений имеет задача?

Найдите угол ABD

Данная задача имеет два возможных решения, поскольку в условии не указано взаимное расположение лучей BA и BD относительно общего для данных углов луча BC.

Случай 1: Лучи BA и BD расположены по разные стороны от луча BC.

В этом случае угол ABD будет равен сумме углов ABC и CBD. Это происходит, когда углы являются смежными по лучу BC.

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$

Подставляем известные значения:

$\angle ABD = 30^\circ + 80^\circ = 110^\circ$

Случай 2: Лучи BA и BD расположены по одну сторону от луча BC.

Поскольку $\angle CBD = 80^\circ$ больше, чем $\angle ABC = 30^\circ$, это означает, что луч BA проходит внутри угла CBD. В этом случае угол ABD будет равен разности углов CBD и ABC.

$\angle ABD = \angle CBD - \angle ABC$

Подставляем известные значения:

$\angle ABD = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ$

Ответ: Угол ABD может быть равен $110^\circ$ или $50^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы рассмотрели два возможных и непротиворечивых геометрических расположения лучей, которые приводят к двум различным результатам, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

87. Начертите два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была вертикальной.

шени имеет задача:

88. Найдите угол $MOK$, если $\angle MON = 120^\circ$, $\angle KON = 43^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Для нахождения угла MOK необходимо рассмотреть два возможных случая взаимного расположения лучей, так как в условии задачи это не уточнено.

Случай 1: Луч OK проходит между сторонами угла MON.

В этом случае угол MON является суммой углов MOK и KON. Это можно записать с помощью формулы:

$\angle MON = \angle MOK + \angle KON$

Чтобы найти угол MOK, необходимо из угла MON вычесть угол KON:

$\angle MOK = \angle MON - \angle KON$

Подставим заданные значения:

$\angle MOK = 120^\circ - 43^\circ = 77^\circ$

Случай 2: Луч ON проходит между сторонами угла MOK.

В этом случае искомый угол MOK будет равен сумме углов MON и KON:

$\angle MOK = \angle MON + \angle KON$

Подставим заданные значения:

$\angle MOK = 120^\circ + 43^\circ = 163^\circ$

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существует два возможных геометрических расположения лучей, которые соответствуют условию задачи, и для каждого из них мы получаем разное значение угла MOK, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения. Угол MOK может быть равен $77^\circ$ или $163^\circ$.

88. Укажите пары смежных углов (рис. 83).

Рис. 83

а

A B D C

б

M K P O E

в

F M C N E

г

C A B D E F

89. Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $45^\circ$.

Пусть дан прямой угол с вершиной в точке $O$, обозначим его $ \angle AOC $. По условию, его величина составляет $ 90^\circ $.

Из вершины $O$ проведён луч $OB$, который делит прямой угол $ \angle AOC $ на два угла: $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $. По аксиоме измерения углов, сумма этих двух углов равна величине исходного угла: $ \angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 90^\circ $.

Проведём биссектрису $OD$ угла $ \angle AOB $ и биссектрису $OE$ угла $ \angle BOC $.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно: $ \angle DOB = \frac{1}{2} \angle AOB $
$ \angle BOE = \frac{1}{2} \angle BOC $

Угол между биссектрисами $OD$ и $OE$ — это угол $ \angle DOE $. Поскольку луч $OB$ проходит между лучами $OD$ и $OE$, то величина угла $ \angle DOE $ равна сумме величин углов $ \angle DOB $ и $ \angle BOE $: $ \angle DOE = \angle DOB + \angle BOE $.

Подставим выражения для $ \angle DOB $ и $ \angle BOE $ в это равенство: $ \angle DOE = \frac{1}{2} \angle AOB + \frac{1}{2} \angle BOC $.

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки: $ \angle DOE = \frac{1}{2} (\angle AOB + \angle BOC) $.

Мы знаем, что $ \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ $. Подставим это значение в полученную формулу: $ \angle DOE = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, доказано, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $ 45^\circ $.

Ответ: Угол между биссектрисами равен $45^\circ$.

89. Являются ли углы $\angle ABC$ и $\angle DBE$ вертикальными (рис. 84)?

Рис. 84

а

б

в

90. Как, имея шаблон угла, равного $70^\circ$, построить угол, равный $40^\circ$?

Чтобы построить угол в $40°$, имея только шаблон угла в $70°$, можно воспользоваться свойством развернутого угла, который равен $180°$. Идея заключается в том, чтобы из развернутого угла вычесть два угла по $70°$.

Пошаговый план построения:

1. Построение основы
Начертите прямую линию и выберите на ней произвольную точку O. Эта точка будет вершиной всех углов, а прямая линия образует развернутый угол, равный $180°$.

2. Построение угла 140°
Приложите шаблон угла в $70°$ так, чтобы его вершина совпала с точкой O, а одна из сторон легла на прямую. Проведите луч вдоль второй стороны шаблона. Вы отложили угол в $70°$.
Теперь снова приложите шаблон к точке O, но на этот раз совместите его сторону с только что построенным лучом, откладывая второй угол в ту же полуплоскость. Проведите второй луч. В результате вы отложили от исходной прямой угол, равный сумме двух углов по $70°$: $70° + 70° = 140°$.

3. Получение искомого угла 40°
Построенный угол в $140°$ и угол, который остался до второй половины прямой, вместе образуют развернутый угол в $180°$. Этот оставшийся угол и будет искомым. Его величина вычисляется как разность между развернутым углом и построенным углом: $180° - 140° = 40°$.

Ответ: Необходимо на прямой линии от выбранной точки (вершины) последовательно отложить в одну сторону два угла по $70°$ с помощью шаблона. Угол, смежный с полученным углом в $140°$, будет равен $40°$.

Рис. 85

90. Сколько пар смежных углов изображено на рисунке 85? Назовите их. Укажите пары вертикальных углов.

91. Как, имея шаблон угла, равного $40^\circ$, построить угол, равный:

1) $80^\circ$;

2) $160^\circ$;

3) $20^\circ$?

1) 80°

Чтобы построить угол в 80°, необходимо сложить два угла по 40°. Для этого нужно выполнить следующие действия:
1. Начертить произвольный луч OA с началом в точке O.
2. Приложить шаблон угла 40° так, чтобы его вершина совпала с точкой O, а одна из сторон легла на луч OA.
3. Провести второй луч OB по другой стороне шаблона. В результате получится угол $\angle AOB = 40°$.
4. Не убирая шаблон, приложить его снова к вершине O, но теперь так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом OB.
5. Провести третий луч OC по второй стороне шаблона. В результате получится угол $\angle BOC = 40°$.
6. Искомый угол $\angle AOC$ будет состоять из двух построенных углов, и его величина будет равна их сумме: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 40° + 40° = 80°$.

Ответ: Угол в 80° строится путем последовательного откладывания двух углов по 40° от общего луча с общей вершиной.

2) 160°

Для построения угла в 160° необходимо сложить четыре угла по 40°, так как $4 \times 40° = 160°$. Построение выполняется аналогично предыдущему пункту, но операцию откладывания угла нужно повторить четыре раза.
1. Начертить луч OA.
2. Последовательно отложить от луча OA четыре угла по 40° так, чтобы они имели общую вершину O и сторона каждого следующего угла совпадала со стороной предыдущего.
3. В результате будет построен угол, величина которого равна $40° + 40° + 40° + 40° = 160°$.

Ответ: Угол в 160° строится путем последовательного откладывания четырех углов по 40° с общей вершиной.

3) 20°

Угол в 20° можно получить, найдя половину от угла в 40°. Однако без циркуля построить биссектрису затруднительно. Поэтому воспользуемся методом вычитания углов. Мы можем построить угол в 20° как разность между углом в 60° и углом в 40°. Угол в 60° можно получить с помощью развернутого угла (180°).
1. Построим угол в 60°. Для этого проведем прямую и отметим на ней точку O. Это создаст развернутый угол в 180°. Пусть один из лучей, выходящих из точки O, будет OA.
2. От луча OA отложим последовательно три угла по 40° с помощью шаблона. Пусть в результате получится угол $\angle AOD = 3 \times 40° = 120°$.
3. Угол, смежный с углом $\angle AOD$, будет равен $180° - 120° = 60°$. Обозначим его $\angle DOB$, где луч OB является дополнением луча OA до прямой. Таким образом, мы построили угол $\angle DOB$, равный 60°.
4. Теперь из полученного угла $\angle DOB = 60°$ вычтем угол в 40°. Для этого приложим шаблон к вершине O так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом OD, а сам шаблон находился внутри угла $\angle DOB$.
5. Проведем новый луч OE по второй стороне шаблона. Мы получим угол $\angle DOE = 40°$.
6. Искомый угол $\angle EOB$ будет являться разностью между углами $\angle DOB$ и $\angle DOE$. Его величина равна $60° - 40° = 20°$.

Ответ: Угол в 20° можно построить, сначала получив угол в 60° (как смежный с углом $120° = 3 \times 40°$), а затем вычев из него угол в 40° с помощью шаблона.

91. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $24^\circ$ и $156^\circ$;

2) $63^\circ$ и $107^\circ$? Ответ обоснуйте.

92. Как, используя шаблон угла, равного $13^\circ$, построить угол, равный $2^\circ$?

Для построения угла в $2^\circ$ при помощи шаблона угла в $13^\circ$ необходимо найти способ получить угол $2^\circ$ путем сложения или вычитания углов $13^\circ$ и полных оборотов ($360^\circ$). Задача сводится к поиску целых чисел $k$ и $n$, для которых выполняется одно из равенств: $k \cdot 13^\circ = n \cdot 360^\circ + 2^\circ$ или $k \cdot 13^\circ = n \cdot 360^\circ - 2^\circ$. Это равносильно решению в целых числах уравнения $13k - 360n = \pm 2$.

Для решения этой задачи можно сначала найти способ построить угол в $1^\circ$. Для этого нужно найти такое целое число $k$, чтобы величина $k \cdot 13^\circ$ отличалась от целого числа полных оборотов $n \cdot 360^\circ$ на $1^\circ$. Иными словами, ищем решение уравнения $13k - 360n = \pm 1$. Можно заметить, что $3 \cdot 360 = 1080$, а $83 \cdot 13 = 1079$. Их разность равна 1. Таким образом, мы нашли соотношение:

$3 \cdot 360^\circ - 83 \cdot 13^\circ = 1^\circ$

Это соотношение показывает, что если отложить 83 раза угол в $13^\circ$ в одном направлении, то полученный угол $83 \cdot 13^\circ = 1079^\circ$ будет на $1^\circ$ меньше, чем три полных оборота ($1080^\circ$). Следовательно, угол между начальным и конечным лучами будет равен $1^\circ$.

Чтобы получить угол в $2^\circ$, необходимо удвоить найденную комбинацию. Умножим обе части равенства на 2:

$2 \cdot (3 \cdot 360^\circ - 83 \cdot 13^\circ) = 2 \cdot 1^\circ$

$6 \cdot 360^\circ - 166 \cdot 13^\circ = 2^\circ$

Это означает, что $166 \cdot 13^\circ = 6 \cdot 360^\circ - 2^\circ$. Величина угла, полученного путем 166-кратного сложения угла в $13^\circ$, составляет $166 \cdot 13^\circ = 2158^\circ$. Эта величина на $2^\circ$ меньше шести полных оборотов ($6 \cdot 360^\circ = 2160^\circ$).

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Начертите произвольный луч $OA$ с началом в точке $O$.

2. От луча $OA$ с помощью шаблона отложите угол $13^\circ$ в каком-либо направлении (например, против часовой стрелки), получив новый луч $OB_1$.

3. От луча $OB_1$ снова отложите угол $13^\circ$ в том же направлении, получив луч $OB_2$.

4. Повторите эту процедуру 166 раз. Каждый следующий угол откладывается от конечной стороны предыдущего.

5. В результате будет построен конечный луч $OB_{166}$. Суммарный угол поворота от луча $OA$ до луча $OB_{166}$ составит $2158^\circ$. Поскольку $2158^\circ = 6 \cdot 360^\circ - 2^\circ$, конечный луч $OB_{166}$ не дойдет до начального луча $OA$ на $2^\circ$ до совершения шести полных оборотов. Меньший из углов между лучами $OA$ и $OB_{166}$ и будет искомым углом в $2^\circ$.

Ответ: Необходимо 166 раз последовательно отложить угол $13^\circ$ в одном и том же направлении вокруг общей вершины. Угол между начальным лучом первого откладывания и конечным лучом последнего откладывания будет равен $2^\circ$.

92. Найдите угол, смежный с углом:

1) $29^\circ$;

2) $84^\circ$;

3) $98^\circ$;

4) $135^\circ$.

93. Как построить угол, равный $1^\circ$, используя шаблон угла, равного:

1) $19^\circ$;

2) $7^\circ$?

Для построения угла в $1^\circ$ с помощью шаблона угла в $19^\circ$ необходимо найти такую комбинацию сложения и вычитания углов $19^\circ$ и полных оборотов ($360^\circ$), которая даст в результате $1^\circ$. Фактически, это означает поиск целых чисел $k$ и $m$ для уравнения $k \cdot 19^\circ - m \cdot 360^\circ = 1^\circ$.

Можно заметить, что если 19 раз отложить угол в $19^\circ$, то получится угол $19 \times 19^\circ = 361^\circ$. Этот угол состоит из одного полного оборота ($360^\circ$) и еще $1^\circ$. Таким образом, угол между начальным лучом, от которого начиналось построение, и конечным лучом после 19-го откладывания будет равен $361^\circ - 360^\circ = 1^\circ$.

Ответ: необходимо отложить от начального луча 19 раз подряд угол в $19^\circ$ в одном и том же направлении. Угол между начальным и конечным лучами будет равен $1^\circ$.

Аналогично первому пункту, требуется найти такое целое число $k$, чтобы угол $k \times 7^\circ$ отличался от целого числа полных оборотов ($m \times 360^\circ$) ровно на $1^\circ$. Это приводит к решению в целых числах диофантова уравнения $7k - 360m = 1$.

Поскольку числа 7 и 360 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), такое уравнение всегда имеет решение. Найдем его с помощью расширенного алгоритма Евклида:
$360 = 51 \cdot 7 + 3$
$7 = 2 \cdot 3 + 1$
Теперь выразим 1 через 360 и 7, двигаясь в обратном порядке:
$1 = 7 - 2 \cdot 3$
$1 = 7 - 2 \cdot (360 - 51 \cdot 7) = 7 - 2 \cdot 360 + 102 \cdot 7 = 103 \cdot 7 - 2 \cdot 360$
Из полученного равенства $103 \cdot 7^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 1^\circ$ следует, что если отложить 103 раза угол в $7^\circ$, то суммарный угол будет равен $103 \times 7^\circ = 721^\circ$. Этот угол на $1^\circ$ больше двух полных оборотов ($2 \times 360^\circ = 720^\circ$).

Ответ: необходимо отложить от начального луча 103 раза подряд угол в $7^\circ$ в одном и том же направлении. Угол между начальным и конечным лучами будет равен $721^\circ - 720^\circ = 1^\circ$.

93. Может ли пара смежных углов состоять:

1) из двух острых углов;

2) из двух тупых углов;

3) из прямого и тупого углов;

4) из прямого и острого углов?

94. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, который меньше $31^\circ$?

Шесть прямых, пересекающихся в одной точке, образуют 12 углов вокруг этой точки. Это происходит потому, что каждая прямая представляет собой два луча, выходящих из точки пересечения. Таким образом, 6 прямых образуют $6 \times 2 = 12$ лучей, которые делят полный угол на 12 секторов (углов).

Сумма всех углов, образующих полный круг вокруг точки, всегда равна $360°$. Обозначим эти 12 углов как $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{12}$. Тогда их сумма будет: $$ \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{12} = 360° $$

Чтобы ответить на вопрос, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение в задаче неверно. То есть, предположим, что среди образовавшихся углов нет угла, который меньше $31°$. Это означает, что каждый из 12 углов больше или равен $31°$: $$ \alpha_i \ge 31° \text{ для всех } i \text{ от 1 до 12} $$

Теперь найдем, какой была бы минимально возможная сумма этих 12 углов при нашем предположении. Если каждый из 12 углов не меньше $31°$, то их общая сумма должна быть не меньше, чем произведение $12 \times 31°$: $$ \text{Сумма углов} \ge 12 \times 31° = 372° $$

Мы получили, что сумма углов должна быть не меньше $372°$. Однако мы знаем, что сумма углов вокруг точки в точности равна $360°$. Возникло противоречие ($372° > 360°$).

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, утверждение "среди образовавшихся при этом углов есть угол, который меньше $31°$" является верным.

Ответ: Да, верно.

94. Один из смежных углов – прямой. Каким является второй угол?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Рис. 86

95. Не отрывая карандаша от бумаги, проведите через девять точек (рис. 86) четыре отрезка (возвращаться в исходную точку не обязательно).

95. Эта известная головоломка на нестандартное мышление. Большинство людей пытаются решить её, проводя линии только в пределах воображаемого квадрата, образованного девятью точками. Однако условие задачи этого не требует.

Ключ к решению — выход за эти воображаемые границы. Необходимо рисовать отрезки длиннее, чем расстояние между крайними точками в ряду или столбце. Ниже представлен один из возможных вариантов решения.

Описание шагов для построения фигуры, как на рисунке:

1. Начните линию немного выше и правее верхней правой точки. Проведите первый отрезок по диагонали вниз и влево, пересекая верхнюю правую, центральную и нижнюю левую точки. Продлите линию дальше этой последней точки.
2. Не отрывая карандаша, проведите второй отрезок горизонтально вправо, пересекая оставшиеся две точки в нижнем ряду. Продлите линию за пределы правой точки.
3. Проведите третий отрезок по диагонали вверх и влево так, чтобы он пересек среднюю точку в правом столбце и левую точку в верхнем ряду. Продлите линию за пределы левой точки.
4. Наконец, проведите четвертый отрезок вертикально вниз, чтобы пересечь оставшиеся две точки в левом столбце.

Таким образом, все девять точек соединены четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.

Ответ: Решение представлено на рисунке и в описании выше. Главное условие — выходить за рамки квадрата из точек.

95. Найдите угол, смежный с углом ABC, если:

1) $\angle ABC = 36^\circ$;

2) $\angle ABC = 102^\circ$.