Номер 93, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 93, страница 31.

93. Как построить угол, равный $1^\circ$, используя шаблон угла, равного:

1) $19^\circ$;

2) $7^\circ$?

1) 19°

Для построения угла в $1^\circ$ с помощью шаблона угла в $19^\circ$ необходимо найти такую комбинацию сложения и вычитания углов $19^\circ$ и полных оборотов ($360^\circ$), которая даст в результате $1^\circ$. Фактически, это означает поиск целых чисел $k$ и $m$ для уравнения $k \cdot 19^\circ - m \cdot 360^\circ = 1^\circ$.

Можно заметить, что если 19 раз отложить угол в $19^\circ$, то получится угол $19 \times 19^\circ = 361^\circ$. Этот угол состоит из одного полного оборота ($360^\circ$) и еще $1^\circ$. Таким образом, угол между начальным лучом, от которого начиналось построение, и конечным лучом после 19-го откладывания будет равен $361^\circ - 360^\circ = 1^\circ$.

Ответ: необходимо отложить от начального луча 19 раз подряд угол в $19^\circ$ в одном и том же направлении. Угол между начальным и конечным лучами будет равен $1^\circ$.

2) 7°

Аналогично первому пункту, требуется найти такое целое число $k$, чтобы угол $k \times 7^\circ$ отличался от целого числа полных оборотов ($m \times 360^\circ$) ровно на $1^\circ$. Это приводит к решению в целых числах диофантова уравнения $7k - 360m = 1$.

Поскольку числа 7 и 360 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), такое уравнение всегда имеет решение. Найдем его с помощью расширенного алгоритма Евклида:
$360 = 51 \cdot 7 + 3$
$7 = 2 \cdot 3 + 1$
Теперь выразим 1 через 360 и 7, двигаясь в обратном порядке:
$1 = 7 - 2 \cdot 3$
$1 = 7 - 2 \cdot (360 - 51 \cdot 7) = 7 - 2 \cdot 360 + 102 \cdot 7 = 103 \cdot 7 - 2 \cdot 360$
Из полученного равенства $103 \cdot 7^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 1^\circ$ следует, что если отложить 103 раза угол в $7^\circ$, то суммарный угол будет равен $103 \times 7^\circ = 721^\circ$. Этот угол на $1^\circ$ больше двух полных оборотов ($2 \times 360^\circ = 720^\circ$).

Ответ: необходимо отложить от начального луча 103 раза подряд угол в $7^\circ$ в одном и том же направлении. Угол между начальным и конечным лучами будет равен $721^\circ - 720^\circ = 1^\circ$.

93. Может ли пара смежных углов состоять:

1) из двух острых углов;

2) из двух тупых углов;

3) из прямого и тупого углов;

4) из прямого и острого углов?