Номер 89, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 89, страница 31.

89. Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $45^\circ$.

Пусть дан прямой угол с вершиной в точке $O$, обозначим его $ \angle AOC $. По условию, его величина составляет $ 90^\circ $.

Из вершины $O$ проведён луч $OB$, который делит прямой угол $ \angle AOC $ на два угла: $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $. По аксиоме измерения углов, сумма этих двух углов равна величине исходного угла: $ \angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 90^\circ $.

Проведём биссектрису $OD$ угла $ \angle AOB $ и биссектрису $OE$ угла $ \angle BOC $.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно: $ \angle DOB = \frac{1}{2} \angle AOB $
$ \angle BOE = \frac{1}{2} \angle BOC $

Угол между биссектрисами $OD$ и $OE$ — это угол $ \angle DOE $. Поскольку луч $OB$ проходит между лучами $OD$ и $OE$, то величина угла $ \angle DOE $ равна сумме величин углов $ \angle DOB $ и $ \angle BOE $: $ \angle DOE = \angle DOB + \angle BOE $.

Подставим выражения для $ \angle DOB $ и $ \angle BOE $ в это равенство: $ \angle DOE = \frac{1}{2} \angle AOB + \frac{1}{2} \angle BOC $.

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки: $ \angle DOE = \frac{1}{2} (\angle AOB + \angle BOC) $.

Мы знаем, что $ \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ $. Подставим это значение в полученную формулу: $ \angle DOE = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, доказано, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $ 45^\circ $.

Ответ: Угол между биссектрисами равен $45^\circ$.

89. Являются ли углы $\angle ABC$ и $\angle DBE$ вертикальными (рис. 84)?

Рис. 84

а

б

в