Номер 92, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 92, страница 31.

92. Как, используя шаблон угла, равного $13^\circ$, построить угол, равный $2^\circ$?

Для построения угла в $2^\circ$ при помощи шаблона угла в $13^\circ$ необходимо найти способ получить угол $2^\circ$ путем сложения или вычитания углов $13^\circ$ и полных оборотов ($360^\circ$). Задача сводится к поиску целых чисел $k$ и $n$, для которых выполняется одно из равенств: $k \cdot 13^\circ = n \cdot 360^\circ + 2^\circ$ или $k \cdot 13^\circ = n \cdot 360^\circ - 2^\circ$. Это равносильно решению в целых числах уравнения $13k - 360n = \pm 2$.

Для решения этой задачи можно сначала найти способ построить угол в $1^\circ$. Для этого нужно найти такое целое число $k$, чтобы величина $k \cdot 13^\circ$ отличалась от целого числа полных оборотов $n \cdot 360^\circ$ на $1^\circ$. Иными словами, ищем решение уравнения $13k - 360n = \pm 1$. Можно заметить, что $3 \cdot 360 = 1080$, а $83 \cdot 13 = 1079$. Их разность равна 1. Таким образом, мы нашли соотношение:

$3 \cdot 360^\circ - 83 \cdot 13^\circ = 1^\circ$

Это соотношение показывает, что если отложить 83 раза угол в $13^\circ$ в одном направлении, то полученный угол $83 \cdot 13^\circ = 1079^\circ$ будет на $1^\circ$ меньше, чем три полных оборота ($1080^\circ$). Следовательно, угол между начальным и конечным лучами будет равен $1^\circ$.

Чтобы получить угол в $2^\circ$, необходимо удвоить найденную комбинацию. Умножим обе части равенства на 2:

$2 \cdot (3 \cdot 360^\circ - 83 \cdot 13^\circ) = 2 \cdot 1^\circ$

$6 \cdot 360^\circ - 166 \cdot 13^\circ = 2^\circ$

Это означает, что $166 \cdot 13^\circ = 6 \cdot 360^\circ - 2^\circ$. Величина угла, полученного путем 166-кратного сложения угла в $13^\circ$, составляет $166 \cdot 13^\circ = 2158^\circ$. Эта величина на $2^\circ$ меньше шести полных оборотов ($6 \cdot 360^\circ = 2160^\circ$).

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Начертите произвольный луч $OA$ с началом в точке $O$.

2. От луча $OA$ с помощью шаблона отложите угол $13^\circ$ в каком-либо направлении (например, против часовой стрелки), получив новый луч $OB_1$.

3. От луча $OB_1$ снова отложите угол $13^\circ$ в том же направлении, получив луч $OB_2$.

4. Повторите эту процедуру 166 раз. Каждый следующий угол откладывается от конечной стороны предыдущего.

5. В результате будет построен конечный луч $OB_{166}$. Суммарный угол поворота от луча $OA$ до луча $OB_{166}$ составит $2158^\circ$. Поскольку $2158^\circ = 6 \cdot 360^\circ - 2^\circ$, конечный луч $OB_{166}$ не дойдет до начального луча $OA$ на $2^\circ$ до совершения шести полных оборотов. Меньший из углов между лучами $OA$ и $OB_{166}$ и будет искомым углом в $2^\circ$.

Ответ: Необходимо 166 раз последовательно отложить угол $13^\circ$ в одном и том же направлении вокруг общей вершины. Угол между начальным лучом первого откладывания и конечным лучом последнего откладывания будет равен $2^\circ$.

92. Найдите угол, смежный с углом:

1) $29^\circ$;

2) $84^\circ$;

3) $98^\circ$;

4) $135^\circ$.