Номер 91, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 91, страница 31.

91. Как, имея шаблон угла, равного $40^\circ$, построить угол, равный:

1) $80^\circ$;

2) $160^\circ$;

3) $20^\circ$?

1) 80°

Чтобы построить угол в 80°, необходимо сложить два угла по 40°. Для этого нужно выполнить следующие действия:
1. Начертить произвольный луч OA с началом в точке O.
2. Приложить шаблон угла 40° так, чтобы его вершина совпала с точкой O, а одна из сторон легла на луч OA.
3. Провести второй луч OB по другой стороне шаблона. В результате получится угол $\angle AOB = 40°$.
4. Не убирая шаблон, приложить его снова к вершине O, но теперь так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом OB.
5. Провести третий луч OC по второй стороне шаблона. В результате получится угол $\angle BOC = 40°$.
6. Искомый угол $\angle AOC$ будет состоять из двух построенных углов, и его величина будет равна их сумме: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 40° + 40° = 80°$.

Ответ: Угол в 80° строится путем последовательного откладывания двух углов по 40° от общего луча с общей вершиной.

2) 160°

Для построения угла в 160° необходимо сложить четыре угла по 40°, так как $4 \times 40° = 160°$. Построение выполняется аналогично предыдущему пункту, но операцию откладывания угла нужно повторить четыре раза.
1. Начертить луч OA.
2. Последовательно отложить от луча OA четыре угла по 40° так, чтобы они имели общую вершину O и сторона каждого следующего угла совпадала со стороной предыдущего.
3. В результате будет построен угол, величина которого равна $40° + 40° + 40° + 40° = 160°$.

Ответ: Угол в 160° строится путем последовательного откладывания четырех углов по 40° с общей вершиной.

3) 20°

Угол в 20° можно получить, найдя половину от угла в 40°. Однако без циркуля построить биссектрису затруднительно. Поэтому воспользуемся методом вычитания углов. Мы можем построить угол в 20° как разность между углом в 60° и углом в 40°. Угол в 60° можно получить с помощью развернутого угла (180°).
1. Построим угол в 60°. Для этого проведем прямую и отметим на ней точку O. Это создаст развернутый угол в 180°. Пусть один из лучей, выходящих из точки O, будет OA.
2. От луча OA отложим последовательно три угла по 40° с помощью шаблона. Пусть в результате получится угол $\angle AOD = 3 \times 40° = 120°$.
3. Угол, смежный с углом $\angle AOD$, будет равен $180° - 120° = 60°$. Обозначим его $\angle DOB$, где луч OB является дополнением луча OA до прямой. Таким образом, мы построили угол $\angle DOB$, равный 60°.
4. Теперь из полученного угла $\angle DOB = 60°$ вычтем угол в 40°. Для этого приложим шаблон к вершине O так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом OD, а сам шаблон находился внутри угла $\angle DOB$.
5. Проведем новый луч OE по второй стороне шаблона. Мы получим угол $\angle DOE = 40°$.
6. Искомый угол $\angle EOB$ будет являться разностью между углами $\angle DOB$ и $\angle DOE$. Его величина равна $60° - 40° = 20°$.

Ответ: Угол в 20° можно построить, сначала получив угол в 60° (как смежный с углом $120° = 3 \times 40°$), а затем вычев из него угол в 40° с помощью шаблона.

91. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $24^\circ$ и $156^\circ$;

2) $63^\circ$ и $107^\circ$? Ответ обоснуйте.