Номер 94, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 94, страница 31.

94. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, который меньше $31^\circ$?

Шесть прямых, пересекающихся в одной точке, образуют 12 углов вокруг этой точки. Это происходит потому, что каждая прямая представляет собой два луча, выходящих из точки пересечения. Таким образом, 6 прямых образуют $6 \times 2 = 12$ лучей, которые делят полный угол на 12 секторов (углов).

Сумма всех углов, образующих полный круг вокруг точки, всегда равна $360°$. Обозначим эти 12 углов как $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{12}$. Тогда их сумма будет: $$ \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{12} = 360° $$

Чтобы ответить на вопрос, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение в задаче неверно. То есть, предположим, что среди образовавшихся углов нет угла, который меньше $31°$. Это означает, что каждый из 12 углов больше или равен $31°$: $$ \alpha_i \ge 31° \text{ для всех } i \text{ от 1 до 12} $$

Теперь найдем, какой была бы минимально возможная сумма этих 12 углов при нашем предположении. Если каждый из 12 углов не меньше $31°$, то их общая сумма должна быть не меньше, чем произведение $12 \times 31°$: $$ \text{Сумма углов} \ge 12 \times 31° = 372° $$

Мы получили, что сумма углов должна быть не меньше $372°$. Однако мы знаем, что сумма углов вокруг точки в точности равна $360°$. Возникло противоречие ($372° > 360°$).

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, утверждение "среди образовавшихся при этом углов есть угол, который меньше $31°$" является верным.

Ответ: Да, верно.

94. Один из смежных углов – прямой. Каким является второй угол?