Номер 4, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 4. Смежные и вертикальные углы. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 4, страница 33.

4. Сформулируйте теорему о свойстве вертикальных углов.

Теорема о свойстве вертикальных углов формулируется следующим образом: вертикальные углы равны.

Для развернутого ответа приведем также определение и доказательство этой теоремы.

Определение: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Такие углы образуются при пересечении двух прямых.

Доказательство теоремы:

Пусть две прямые пересекаются и образуют четыре угла: $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Пары вертикальных углов — это ($\angle 1, \angle 3$) и ($\angle 2, \angle 4$). Нам нужно доказать, что $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.

Рассмотрим пару углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Они являются смежными, поскольку у них одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь рассмотрим пару углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Они также являются смежными по той же причине. Следовательно, их сумма также равна $180^\circ$:

$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Так как оба выражения равны $180^\circ$, мы можем приравнять левые части этих равенств:

$\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Вычитая величину угла $\angle 2$ из обеих частей равенства, получаем:

$\angle 1 = \angle 3$

Равенство второй пары вертикальных углов ($\angle 2 = \angle 4$) доказывается аналогично, рассматривая смежные углы ($\angle 1, \angle 2$) и ($\angle 1, \angle 4$), или ($\angle 3, \angle 2$) и ($\angle 3, \angle 4$).

Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Вертикальные углы равны.

4. Сформулируйте теорему о свойстве вертикальных углов.