Номер 65, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 3. Луч. Угол. Измерение углов. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 65, страница 29.

65. На рисунке 76 $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF.$

1) Какой луч является биссектрисой угла $AOC$? угла $DOF$? угла $BOF$?

2) Биссектрисой каких углов является луч $OC$?

Рис. 76

По условию задачи, все углы, образованные соседними лучами, равны между собой:
$ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF $.
Обозначим величину этих равных углов как $ \alpha $.

1) Какой луч является биссектрисой угла AOC? угла DOF? угла BOF?

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.
- Для угла $ \angle AOC $:
Угол $ \angle AOC $ состоит из двух углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $. Поскольку по условию $ \angle AOB = \angle BOC $, то луч OB является биссектрисой угла $ \angle AOC $.
- Для угла $ \angle DOF $:
Угол $ \angle DOF $ состоит из двух углов $ \angle DOE $ и $ \angle EOF $. Поскольку по условию $ \angle DOE = \angle EOF $, то луч OE является биссектрисой угла $ \angle DOF $.
- Для угла $ \angle BOF $:
Рассмотрим луч OD, который делит угол $ \angle BOF $ на два угла: $ \angle BOD $ и $ \angle DOF $.
Найдем их величины:
$ \angle BOD = \angle BOC + \angle COD = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
$ \angle DOF = \angle DOE + \angle EOF = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
Так как $ \angle BOD = \angle DOF $, луч OD является биссектрисой угла $ \angle BOF $.
Ответ: Биссектрисой угла $ \angle AOC $ является луч OB, биссектрисой угла $ \angle DOF $ является луч OE, биссектрисой угла $ \angle BOF $ является луч OD.

2) Биссектрисой каких углов является луч OC?

Необходимо найти углы, которые луч OC делит на две равные части.
- Угол $ \angle BOD $. Луч OC делит его на углы $ \angle BOC $ и $ \angle COD $. По условию $ \angle BOC = \angle COD $, следовательно, OC — биссектриса угла $ \angle BOD $.
- Угол $ \angle AOE $. Луч OC делит его на углы $ \angle AOC $ и $ \angle COE $.
Найдем величины этих углов:
$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
$ \angle COE = \angle COD + \angle DOE = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
Так как $ \angle AOC = \angle COE $, луч OC является также биссектрисой угла $ \angle AOE $.
Ответ: Луч OC является биссектрисой углов $ \angle BOD $ и $ \angle AOE $.

65. Угол $CEF$ равен $152^\circ$, луч $EM$ проходит между его сторонами, угол $CEM$ на $18^\circ$ больше угла $FEM$. Найдите углы $CEM$ и $FEM$.