Номер 137, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 137, страница 41.

137. Докажите, что если биссектрисы углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$ перпендикулярны, то точки A, O и C лежат на одной прямой.

Пусть $OD$ — биссектриса угла $ \angle AOB $, а $OE$ — биссектриса угла $ \angle BOC $. Углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ являются смежными, так как у них общая вершина $O$ и общая сторона $OB$.

По определению биссектрисы угла, она делит угол на два равных угла. Следовательно, мы можем записать:
$ \angle DOB = \frac{1}{2} \angle AOB $
$ \angle BOE = \frac{1}{2} \angle BOC $
Отсюда можно выразить полные углы через их половины:
$ \angle AOB = 2 \cdot \angle DOB $
$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BOE $

По условию задачи, биссектрисы $OD$ и $OE$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними, $ \angle DOE $, равен $ 90^\circ $.
$ \angle DOE = 90^\circ $

Угол $ \angle DOE $ состоит из суммы углов $ \angle DOB $ и $ \angle BOE $, так как луч $OB$ проходит между лучами $OD$ и $OE$.
$ \angle DOE = \angle DOB + \angle BOE $
Таким образом, мы получаем равенство:
$ \angle DOB + \angle BOE = 90^\circ $

Чтобы доказать, что точки A, O и C лежат на одной прямой, необходимо показать, что угол $ \angle AOC $ является развернутым, то есть его градусная мера равна $ 180^\circ $. Угол $ \angle AOC $ складывается из углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $:
$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $

Теперь подставим в это выражение равенства для $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $, которые мы получили из определения биссектрис:
$ \angle AOC = (2 \cdot \angle DOB) + (2 \cdot \angle BOE) $
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ \angle AOC = 2 \cdot (\angle DOB + \angle BOE) $

Ранее мы установили, что $ \angle DOB + \angle BOE = 90^\circ $. Подставим это значение в полученное выражение для $ \angle AOC $:
$ \angle AOC = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ $

Так как величина угла $ \angle AOC $ составляет $ 180^\circ $, этот угол является развернутым. По определению развернутого угла, его стороны (лучи $OA$ и $OC$) образуют прямую линию. Следовательно, точки A, O и C лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

137. Начертите произвольный треугольник, обозначьте его вершины буквами $M$, $K$ и $E$. Укажите:

1) сторону, противолежащую углу $M$;

2) угол, противолежащий стороне $MK$;

3) стороны, прилежащие к углу $K$;

4) углы, прилежащие к стороне $KE$.

Рис. 122