Номер 143, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 143, страница 42.

143. Из вершины угла $ABC$, равного $70^\circ$, проведены лучи $BD$ и $BF$ так, что $BD \perp BA$, $BF \perp BC$, лучи $BD$ и $BC$ принадлежат углу $ABF$. Найдите углы $DBF$ и $ABF$.

Угол DBF

По условию задачи нам даны следующие величины и условия:
1. $\angle ABC = 70^{\circ}$.
2. Луч $BD$ перпендикулярен лучу $BA$, что означает $\angle ABD = 90^{\circ}$.
3. Луч $BF$ перпендикулярен лучу $BC$, что означает $\angle CBF = 90^{\circ}$.
4. Лучи $BD$ и $BC$ принадлежат углу $ABF$.

Сравним углы $\angle ABD$ и $\angle ABC$. Поскольку $\angle ABD = 90^{\circ}$ и $\angle ABC = 70^{\circ}$, то $\angle ABD > \angle ABC$. Так как у этих углов общая сторона $BA$, то луч $BC$ должен находиться внутри угла $ABD$.
Следовательно, угол $ABD$ можно представить как сумму углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$:
$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$.
Отсюда мы можем выразить и найти угол $CBD$:
$\angle CBD = \angle ABD - \angle ABC = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.

Теперь рассмотрим угол $\angle CBF = 90^{\circ}$. Из условия, что лучи $BD$ и $BC$ лежат внутри угла $ABF$, следует, что лучи расположены в порядке $A-C-D-F$ вокруг вершины $B$. Таким образом, угол $\angle CBF$ состоит из суммы углов $\angle CBD$ и $\angle DBF$:
$\angle CBF = \angle CBD + \angle DBF$.
Подставим известные значения:
$90^{\circ} = 20^{\circ} + \angle DBF$.
Теперь найдем искомый угол $DBF$:
$\angle DBF = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$.
Ответ: $\angle DBF = 70^{\circ}$.

Угол ABF

Угол $ABF$ является суммой смежных углов, из которых он состоит. Исходя из взаимного расположения лучей, его можно вычислить двумя способами.

Способ 1: Сложение углов $\angle ABC$ и $\angle CBF$.
$\angle ABF = \angle ABC + \angle CBF$.
Подставим известные значения:
$\angle ABF = 70^{\circ} + 90^{\circ} = 160^{\circ}$.

Способ 2: Сложение углов $\angle ABD$ и $\angle DBF$.
$\angle ABF = \angle ABD + \angle DBF$.
Подставим известные и ранее вычисленные значения:
$\angle ABF = 90^{\circ} + 70^{\circ} = 160^{\circ}$.

Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений.
Ответ: $\angle ABF = 160^{\circ}$.

143. Треугольники $ABC$ и $DEF$ равны, стороны $AB$ и $DE$, $BC$ и $DF$ соответственные, $\angle B = 32^\circ$. Найдите $\angle D$.