Номер 142, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 142, страница 41.

142. На рисунке 117 $\angle ABD = \angle FBK$, $\angle DBF = \angle KBC$. Докажите, что $BF \perp AC$.

Из условия задачи следует, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Следовательно, угол $ \angle ABC $ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$.

По условию даны следующие равенства углов: $ \angle ABD = \angle FBK $ и $ \angle DBF = \angle KBC $.

Сложим левые и правые части этих равенств между собой:$ \angle ABD + \angle DBF = \angle FBK + \angle KBC $.

Сумма углов в левой части равенства, $ \angle ABD + \angle DBF $, составляет угол $ \angle ABF $. Сумма углов в правой части, $ \angle FBK + \angle KBC $, составляет угол $ \angle FBC $. Это следует из взаимного расположения лучей, которое предполагается на рисунке 117. Таким образом, мы получаем новое равенство: $ \angle ABF = \angle FBC $.

Углы $ \angle ABF $ и $ \angle FBC $ являются смежными, так как сторона BF у них общая, а стороны BA и BC являются дополнительными лучами, образуя прямую AC. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $ \angle ABF + \angle FBC = 180^\circ $.

Поскольку мы установили, что $ \angle ABF = \angle FBC $, можно выполнить подстановку в последнем равенстве:$ \angle FBC + \angle FBC = 180^\circ $, что эквивалентно $ 2 \cdot \angle FBC = 180^\circ $.

Отсюда находим величину угла $ \angle FBC $:$ \angle FBC = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $.

По определению, если угол между двумя прямыми равен $90^\circ$, то эти прямые перпендикулярны. Следовательно, $ BF \perp AC $, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

142. Треугольники $APK$ и $MCE$ равны, углы $A$ и $C$ соответственные, $PK = 10$ см. Найдите сторону $ME$.