Номер 141, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 141, страница 41.

141. На рисунке 117 $BF \perp AC$, $BD \perp BK$. Докажите, что $\angle ABD = \angle FBK$.

Рис. 117

Для доказательства равенства углов $\angle ABD$ и $\angle FBK$ воспользуемся данными из условия задачи.

1. По условию, луч $BF$ перпендикулярен прямой $AC$ ($BF \perp AC$). Это означает, что угол $\angle ABF$ является прямым, и его градусная мера составляет $90^\circ$.

$\angle ABF = 90^\circ$

Из рисунка видно, что угол $\angle ABF$ состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle DBF$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle ABF = \angle ABD + \angle DBF$

Подставив известное значение $\angle ABF$, получим:

$90^\circ = \angle ABD + \angle DBF$

Выразим из этого равенства угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = 90^\circ - \angle DBF$ (1)

2. Также по условию, луч $BD$ перпендикулярен лучу $BK$ ($BD \perp BK$). Это означает, что угол $\angle DBK$ также является прямым, и его градусная мера равна $90^\circ$.

$\angle DBK = 90^\circ$

Из рисунка видно, что угол $\angle DBK$ состоит из двух углов: $\angle DBF$ и $\angle FBK$. Запишем это в виде равенства:

$\angle DBK = \angle DBF + \angle FBK$

Подставив известное значение $\angle DBK$, получим:

$90^\circ = \angle DBF + \angle FBK$

Выразим из этого равенства угол $\angle FBK$:

$\angle FBK = 90^\circ - \angle DBF$ (2)

3. Теперь сравним выражения (1) и (2). Правые части обоих равенств одинаковы ($90^\circ - \angle DBF$). Следовательно, левые части этих равенств также должны быть равны.

$\angle ABD = \angle FBK$

Таким образом, мы доказали, что $\angle ABD = \angle FBK$, так как оба этих угла дополняют один и тот же угол $\angle DBF$ до прямого угла.

Ответ: Равенство $\angle ABD = \angle FBK$ доказано.

141. Периметр треугольника равен 48 см, а его стороны относятся как $7 : 9 : 8$. Найдите стороны треугольника.