Номер 147, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 147, страница 42.

147. На рисунке 118 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?

Рис. 118

Рассмотрим произвольную прямую, которая не проходит ни через одну из вершин многоугольника. Такая прямая делит всю плоскость на две открытые полуплоскости.

Когда мы движемся по контуру многоугольника, при пересечении одной из его сторон наша прямая-секущая заставляет нас переходить из одной полуплоскости в другую. Для того чтобы прямая пересекла сторону многоугольника, ее концы (то есть, две соседние вершины многоугольника) должны находиться в разных полуплоскостях.

Многоугольник представляет собой замкнутую ломаную линию. Это означает, что если мы начнем обход из какой-либо вершины, мы в конечном итоге вернемся в ту же самую вершину. Для того чтобы вернуться в исходную полуплоскость, необходимо совершить четное число переходов из одной полуплоскости в другую и обратно. Следовательно, любая прямая, не проходящая через вершины, может пересекать стороны многоугольника только четное число раз.

Например, на рисунке 118 показано, как прямая пересекает 8 сторон восьмиугольника. Число 8 — четное, поэтому такая ситуация возможна.

В задаче речь идет о тринадцатиугольнике, у которого 13 сторон. Число 13 является нечетным. Исходя из вышеизложенного, прямая не может пересечь нечетное число сторон многоугольника. Таким образом, прямая не может пересечь все 13 сторон тринадцатиугольника.

Ответ: нет, не может.

147. Какой из элементов треугольника — биссектриса, медиана, высота — может совпадать с его стороной? Укажите вид треугольника, для которого это возможно.