Номер 6, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 6, страница 47.

6. Длина отрезка $AB$ равна $12$ см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна $12$ см?

А) ни одной

Б) $2$

В) бесконечно много

Г) $1$

Пусть задан отрезок $AB$ длиной 12 см. Мы ищем точки $C$ на прямой $AB$, для которых сумма расстояний до концов отрезка, $AC$ и $CB$, равна 12 см. То есть, должно выполняться условие $|AC| + |CB| = 12$ см.

Рассмотрим все возможные положения точки $C$ на прямой $AB$.

Случай 1: Точка $C$ находится на отрезке $AB$.
Если точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ (или совпадает с одной из них), то по свойству измерения отрезков, длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей, $AC$ и $CB$. Таким образом, $|AC| + |CB| = |AB|$.
Поскольку по условию задачи $|AB| = 12$ см, то для любой точки $C$, принадлежащей отрезку $AB$, равенство $|AC| + |CB| = 12$ см будет верным.
Любой отрезок прямой содержит бесконечное множество точек. Следовательно, все точки отрезка $AB$ удовлетворяют условию.

Случай 2: Точка $C$ находится на прямой $AB$ вне отрезка $AB$.
Этот случай можно разбить на два подслучая:

а) Точка $C$ лежит на продолжении отрезка за точку $B$. Порядок точек на прямой: $A-B-C$.
В этом случае расстояние $|AC|$ равно $|AB| + |BC|$.
Тогда сумма расстояний будет: $|AC| + |CB| = (|AB| + |BC|) + |BC| = |AB| + 2|BC|$.
Подставляя $|AB| = 12$ см, получаем: $12 + 2|BC|$. Поскольку точка $C$ не совпадает с $B$, то $|BC| > 0$, и значит, сумма расстояний $12 + 2|BC| > 12$. Такие точки не удовлетворяют условию.

б) Точка $C$ лежит на продолжении отрезка за точку $A$. Порядок точек на прямой: $C-A-B$.
В этом случае расстояние $|CB|$ равно $|CA| + |AB|$.
Тогда сумма расстояний будет: $|AC| + |CB| = |AC| + (|CA| + |AB|) = 2|AC| + |AB|$.
Подставляя $|AB| = 12$ см, получаем: $2|AC| + 12$. Поскольку точка $C$ не совпадает с $A$, то $|AC| > 0$, и значит, сумма расстояний $2|AC| + 12 > 12$. Эти точки также не удовлетворяют условию.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют только те точки, которые принадлежат отрезку $AB$. Множество этих точек является бесконечным.

Ответ: В) бесконечно много

6. Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна 12 см?

А) ни одной

Б) 2

В) бесконечно много

Г) 1