Номер 5, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 5, страница 47.

5. Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна 14 см?

А) бесконечно много

Б) 1

В) 2

Г) ни одной

Пусть отрезок $AB$ расположен на числовой оси так, что точка $A$ соответствует координате 0, а точка $B$ — координате 12. Длина отрезка $AB$ при этом равна $|12 - 0| = 12$ см.
Мы ищем точки $M$ на прямой $AB$ с координатой $x$. Расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно $|x - 0| = |x|$, а расстояние от точки $M$ до точки $B$ равно $|x - 12|$.
Согласно условию задачи, сумма этих расстояний равна 14 см. Это можно записать в виде уравнения:
$|x| + |x - 12| = 14$
Для решения этого уравнения рассмотрим три возможных случая расположения точки $M$ на прямой.

1. Точка M лежит на отрезке AB

В этом случае координата точки $x$ находится в пределах $0 \le x \le 12$. Для любой такой точки сумма расстояний до концов отрезка равна длине самого отрезка: $MA + MB = AB = 12$ см.
Поскольку $12 \ne 14$, на отрезке $AB$ искомых точек нет.
Алгебраически это выглядит так: при $0 \le x \le 12$, $|x| = x$ и $|x - 12| = -(x - 12) = 12 - x$. Уравнение принимает вид:
$x + (12 - x) = 14$
$12 = 14$
Это равенство неверно, что подтверждает отсутствие решений на данном участке.

2. Точка M лежит на прямой левее точки A

В этом случае координата точки $x < 0$. Тогда $|x| = -x$ и $|x - 12| = -(x - 12) = 12 - x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$-x + (12 - x) = 14$
$12 - 2x = 14$
$-2x = 2$
$x = -1$
Так как $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$, это является решением. Найдена одна точка.

3. Точка M лежит на прямой правее точки B

В этом случае координата точки $x > 12$. Тогда $|x| = x$ и $|x - 12| = x - 12$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$x + (x - 12) = 14$
$2x - 12 = 14$
$2x = 26$
$x = 13$
Так как $x = 13$ удовлетворяет условию $x > 12$, это также является решением. Найдена вторая точка.

Таким образом, на прямой $AB$ существуют ровно две точки, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна 14 см. Одна точка находится на расстоянии 1 см от $A$ (вне отрезка), а другая — на расстоянии 1 см от $B$ (также вне отрезка).
Ответ: В) 2

5. Длина отрезка $AB$ равна $12$ см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна $14$ см?

А) бесконечно много

Б) $1$

В) $2$

Г) ни одной