Страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколько прямых определяют три точки, не лежащие на одной прямой?

А) 2

Б) 4

В) 3

Г) 1

Согласно фундаментальной аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести прямую, причем только одну.

Пусть даны три точки A, B и C. По условию задачи, они не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными). Это означает, что они образуют вершины треугольника.

Применим аксиому к этим точкам, рассматривая их попарно:

• Через точки A и B можно провести одну-единственную прямую (прямая AB).
• Через точки B и C можно провести вторую прямую (прямая BC).
• Через точки A и C можно провести третью прямую (прямая AC).

Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, все три полученные прямые (AB, BC, AC) будут различными. Таким образом, три неколлинеарные точки определяют ровно 3 прямые.

Данную задачу можно также решить с помощью формулы из комбинаторики для числа сочетаний. Количество прямых, которые можно провести через $n$ точек, равно числу способов выбрать 2 точки из $n$.

Формула числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае общее число точек $n=3$, а для определения прямой нужно выбрать $k=2$ точки.

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Из предложенных вариантов правильным является В) 3.

Ответ: 3

1. Сколько прямых определяют три точки, не лежащие на одной прямой?

А) 2 Б) 4 В) 3 Г) 1

2. Сколько можно провести отрезков, содержащих две заданные точки?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) бесконечно много

2. Для решения этой задачи необходимо внимательно проанализировать условие. Вопрос состоит в том, сколько отрезков можно провести, которые содержат две заданные точки, а не сколько отрезков можно провести, соединяющих эти две точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$.

Согласно аксиоме геометрии, через две различные точки можно провести только одну прямую. Все отрезки, содержащие точки $A$ и $B$, должны лежать на этой единственной прямой.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Обозначим концы искомого отрезка как $C$ и $D$.

Если бы вопрос звучал как "Сколько отрезков можно провести с концами в двух заданных точках?", то ответ был бы 1. Это был бы отрезок $AB$.

Однако, по условию, отрезок должен содержать точки $A$ и $B$. Это означает, что точки $A$ и $B$ должны принадлежать этому отрезку, но не обязательно быть его концами.

Рассмотрим прямую, проходящую через точки $A$ и $B$. Чтобы отрезок $CD$ содержал точки $A$ и $B$, точка $A$ и точка $B$ должны находиться между точками $C$ и $D$ (или совпадать с одной из них). Это означает, что один конец отрезка (например, $C$) должен находиться на прямой "до" точки $A$ или в самой точке $A$, а другой конец ($D$) — "после" точки $B$ или в самой точке $B$.

Например:

• Сам отрезок $AB$ (где $C=A$ и $D=B$) содержит эти две точки.
• Можно взять точку $C_1$ на прямой левее точки $A$, а в качестве второго конца оставить точку $B$. Отрезок $C_1B$ будет содержать точки $A$ и $B$.
• Можно взять точку $D_1$ на прямой правее точки $B$, а в качестве первого конца оставить точку $A$. Отрезок $AD_1$ будет содержать точки $A$ и $B$.
• Можно взять точку $C_2$ левее $A$ и точку $D_2$ правее $B$. Отрезок $C_2D_2$ также будет содержать точки $A$ и $B$.

Поскольку мы можем выбирать концы отрезка $C$ и $D$ на прямой бесконечным числом способов (например, отодвигая их все дальше от точек $A$ и $B$), существует бесконечно много отрезков, содержащих две заданные точки.

Ответ: Г

2. Сколько можно провести отрезков, содержащих две заданные точки?

А) 1

Б) 2

В) 3

Г) бесконечно много

3. Точка M является внутренней точкой отрезка PQ. Какое из следующих утверждений верно?

А) $PM + MQ = PQ$

Б) $PQ = PM - MQ$

В) $MQ = PQ + PM$

Г) $PM = PQ + MQ$

По условию задачи, точка $M$ является внутренней точкой отрезка $PQ$. Это означает, что точка $M$ лежит на прямой между точками $P$ и $Q$.

Согласно основному свойству измерения отрезков (аксиоме), если точка делит отрезок на две части, то длина всего отрезка равна сумме длин этих частей. В данном случае, точка $M$ делит отрезок $PQ$ на два отрезка: $PM$ и $MQ$.

Следовательно, для длин этих отрезков должно выполняться следующее равенство:
$PM + MQ = PQ$

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений:

А) $PM + MQ = PQ$.
Это утверждение в точности соответствует основному свойству измерения отрезков. Следовательно, оно является верным.

Б) $PQ = PM - MQ$.
Это равенство можно переписать в виде $PM = PQ + MQ$. Оно утверждало бы, что длина части отрезка ($PM$) больше длины всего отрезка ($PQ$) на величину $MQ$. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, это невозможно. Утверждение неверно.

В) $MQ = PQ + PM$.
Это утверждение неверно, поскольку оно гласит, что длина части отрезка ($MQ$) равна сумме длины всего отрезка ($PQ$) и другой его части ($PM$). Это противоречит тому, что $M$ — внутренняя точка отрезка $PQ$.

Г) $PM = PQ + MQ$.
Это утверждение неверно по той же причине, что и утверждение В. Длина части отрезка не может быть больше длины всего отрезка.

Таким образом, единственным верным утверждением является А.

Ответ: А

3. Точка M является внутренней точкой отрезка PQ. Какое из следующих утверждений верно?

А) $PM + MQ = PQ$

Б) $PQ = PM - MQ$

В) $MQ = PQ + PM$

Г) $PM = PQ + MQ$

4. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причём $BC = 8$ см, $AB - BC = 8$ см. Какое из утверждений может быть верным?

А) точка $A$ – середина отрезка $BC$

Б) точка $B$ – середина отрезка $AC$

В) точка $C$ – середина отрезка $AB$

Г) точки $A$ и $B$ совпадают

По условию задачи дано, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Известны следующие соотношения:

1. Длина отрезка BC равна 8 см: $BC = 8$ см.

2. Разность длин отрезков AB и BC равна 8 см: $AB - BC = 8$ см.

Для начала найдем длину отрезка AB, используя данные нам уравнения. Подставим значение $BC = 8$ см во второе уравнение:

$AB - 8 = 8$

Отсюда находим AB:

$AB = 8 + 8 = 16$ см.

Теперь у нас есть длины двух отрезков: $AB = 16$ см и $BC = 8$ см. Поскольку точки лежат на одной прямой, возможно несколько вариантов их взаимного расположения. Проверим каждое из предложенных утверждений.

А) точка А – середина отрезка BC

Если точка А является серединой отрезка BC, то она должна лежать между точками B и C, и при этом должно выполняться равенство $BA = AC$. Из наших вычислений мы знаем, что $AB = 16$ см. Если бы A была серединой BC, то длина всего отрезка BC была бы равна $BC = BA + AC = 16 + 16 = 32$ см. Это противоречит условию, согласно которому $BC = 8$ см. Таким образом, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Б) точка B – середина отрезка AC

Если точка B является серединой отрезка AC, то она должна лежать между точками A и C, и должно выполняться равенство $AB = BC$. Мы знаем, что $AB = 16$ см и $BC = 8$ см. Так как $16 \neq 8$, равенство не выполняется. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

В) точка C – середина отрезка AB

Если точка C является серединой отрезка AB, то она должна лежать между точками A и B, и должно выполняться равенство $AC = CB$. При таком расположении точек (A-C-B) длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB: $AB = AC + CB$. Мы знаем, что $AB = 16$ см и $CB = BC = 8$ см. Найдем длину отрезка AC: $AC = AB - CB = 16 - 8 = 8$ см. Поскольку $AC = 8$ см и $CB = 8$ см, то $AC = CB$. Это полностью соответствует определению середины отрезка. Таким образом, это утверждение может быть верным.

Ответ: верно.

Г) точки А и В совпадают

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю, то есть $AB = 0$. Однако мы вычислили, что $AB = 16$ см. Так как $16 \neq 0$, точки не совпадают. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

4. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причём $BC = 8 \text{ см}$, $AB - AC = 8 \text{ см}$. Какое из следующих утверждений верно?

А) точка $A$ – середина отрезка $BC$

Б) точка $B$ – середина отрезка $AC$

В) точка $C$ – середина отрезка $AB$

Г) точки $A$ и $B$ совпадают

5. Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна 14 см?

А) бесконечно много

Б) 1

В) 2

Г) ни одной

Пусть отрезок $AB$ расположен на числовой оси так, что точка $A$ соответствует координате 0, а точка $B$ — координате 12. Длина отрезка $AB$ при этом равна $|12 - 0| = 12$ см.
Мы ищем точки $M$ на прямой $AB$ с координатой $x$. Расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно $|x - 0| = |x|$, а расстояние от точки $M$ до точки $B$ равно $|x - 12|$.
Согласно условию задачи, сумма этих расстояний равна 14 см. Это можно записать в виде уравнения:
$|x| + |x - 12| = 14$
Для решения этого уравнения рассмотрим три возможных случая расположения точки $M$ на прямой.

1. Точка M лежит на отрезке AB

В этом случае координата точки $x$ находится в пределах $0 \le x \le 12$. Для любой такой точки сумма расстояний до концов отрезка равна длине самого отрезка: $MA + MB = AB = 12$ см.
Поскольку $12 \ne 14$, на отрезке $AB$ искомых точек нет.
Алгебраически это выглядит так: при $0 \le x \le 12$, $|x| = x$ и $|x - 12| = -(x - 12) = 12 - x$. Уравнение принимает вид:
$x + (12 - x) = 14$
$12 = 14$
Это равенство неверно, что подтверждает отсутствие решений на данном участке.

2. Точка M лежит на прямой левее точки A

В этом случае координата точки $x < 0$. Тогда $|x| = -x$ и $|x - 12| = -(x - 12) = 12 - x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$-x + (12 - x) = 14$
$12 - 2x = 14$
$-2x = 2$
$x = -1$
Так как $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$, это является решением. Найдена одна точка.

3. Точка M лежит на прямой правее точки B

В этом случае координата точки $x > 12$. Тогда $|x| = x$ и $|x - 12| = x - 12$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$x + (x - 12) = 14$
$2x - 12 = 14$
$2x = 26$
$x = 13$
Так как $x = 13$ удовлетворяет условию $x > 12$, это также является решением. Найдена вторая точка.

Таким образом, на прямой $AB$ существуют ровно две точки, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна 14 см. Одна точка находится на расстоянии 1 см от $A$ (вне отрезка), а другая — на расстоянии 1 см от $B$ (также вне отрезка).
Ответ: В) 2

5. Длина отрезка $AB$ равна $12$ см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна $14$ см?

А) бесконечно много

Б) $1$

В) $2$

Г) ни одной

6. Длина отрезка $AB$ равна $12$ см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна $12$ см?

А) ни одной

Б) $2$

В) бесконечно много

Г) $1$

Пусть задан отрезок $AB$ длиной 12 см. Мы ищем точки $C$ на прямой $AB$, для которых сумма расстояний до концов отрезка, $AC$ и $CB$, равна 12 см. То есть, должно выполняться условие $|AC| + |CB| = 12$ см.

Рассмотрим все возможные положения точки $C$ на прямой $AB$.

Случай 1: Точка $C$ находится на отрезке $AB$.
Если точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ (или совпадает с одной из них), то по свойству измерения отрезков, длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей, $AC$ и $CB$. Таким образом, $|AC| + |CB| = |AB|$.
Поскольку по условию задачи $|AB| = 12$ см, то для любой точки $C$, принадлежащей отрезку $AB$, равенство $|AC| + |CB| = 12$ см будет верным.
Любой отрезок прямой содержит бесконечное множество точек. Следовательно, все точки отрезка $AB$ удовлетворяют условию.

Случай 2: Точка $C$ находится на прямой $AB$ вне отрезка $AB$.
Этот случай можно разбить на два подслучая:

а) Точка $C$ лежит на продолжении отрезка за точку $B$. Порядок точек на прямой: $A-B-C$.
В этом случае расстояние $|AC|$ равно $|AB| + |BC|$.
Тогда сумма расстояний будет: $|AC| + |CB| = (|AB| + |BC|) + |BC| = |AB| + 2|BC|$.
Подставляя $|AB| = 12$ см, получаем: $12 + 2|BC|$. Поскольку точка $C$ не совпадает с $B$, то $|BC| > 0$, и значит, сумма расстояний $12 + 2|BC| > 12$. Такие точки не удовлетворяют условию.

б) Точка $C$ лежит на продолжении отрезка за точку $A$. Порядок точек на прямой: $C-A-B$.
В этом случае расстояние $|CB|$ равно $|CA| + |AB|$.
Тогда сумма расстояний будет: $|AC| + |CB| = |AC| + (|CA| + |AB|) = 2|AC| + |AB|$.
Подставляя $|AB| = 12$ см, получаем: $2|AC| + 12$. Поскольку точка $C$ не совпадает с $A$, то $|AC| > 0$, и значит, сумма расстояний $2|AC| + 12 > 12$. Эти точки также не удовлетворяют условию.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют только те точки, которые принадлежат отрезку $AB$. Множество этих точек является бесконечным.

Ответ: В) бесконечно много

6. Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Сколько существует на прямой $AB$ точек, для которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна 12 см?

А) ни одной

Б) 2

В) бесконечно много

Г) 1

7. Два луча являются дополнительными, если

А) они имеют общее начало

Б) их объединением является прямая и они имеют общее начало

В) они принадлежат одной прямой

Г) их объединением является прямая

M

По определению из геометрии, два луча называются дополнительными, если они удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Имеют общее начало.
2. Лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны (их объединение образует эту прямую).

Проанализируем предложенные варианты ответа на соответствие этому определению.

А) они имеют общее начало
Это условие является необходимым, но не достаточным. Например, стороны угла, не равного развернутому ($180°$), имеют общее начало, но не лежат на одной прямой и, следовательно, не являются дополнительными.

Б) их объединением является прямая и они имеют общее начало
Этот вариант полностью соответствует определению. Он включает оба необходимых и достаточных условия: наличие общего начала и тот факт, что лучи вместе образуют прямую. Это верное утверждение.

В) они принадлежат одной прямой
Это условие также является необходимым, но не достаточным. Два луча могут лежать на одной прямой, но не иметь общего начала (например, один луч может быть частью другого). Такие лучи не будут дополнительными.

Г) их объединением является прямая
Это условие неполное, так как оно не гарантирует наличия общего начала. Два луча могут образовывать прямую, но исходить из разных точек, и в этом случае они не будут дополнительными.

Таким образом, единственный вариант, который точно и полно описывает дополнительные лучи, — это вариант Б.

Ответ: Б

7. Два луча являются дополнительными, если

А) они имеют общее начало

Б) их объединением является прямая и они имеют общее начало

В) они принадлежат одной прямой

Г) их объединением является прямая

8. Какое обозначение угла, изображённого на рисунке, является неправильным?

А) $ \angle O $

Б) $ \angle OMN $

В) $ \angle MON $

Г) $ \angle NOM $

В геометрии угол — это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, называемой вершиной угла. На предоставленном рисунке мы видим угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, проходящими через точки $M$ и $N$. Существует несколько стандартных способов обозначения углов. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $\angle O$
Угол можно называть по его вершине, если через эту вершину проходит только один угол. На рисунке из точки $O$ выходит только один угол, поэтому такое обозначение является правильным.

Б) $\angle OMN$
При обозначении угла тремя буквами, буква, обозначающая вершину угла, всегда должна находиться в середине. В обозначении $\angle OMN$ вершиной угла является точка $M$. Однако на рисунке вершина угла находится в точке $O$. Следовательно, обозначение $\angle OMN$ является неправильным.

В) $\angle MON$
В данном случае в середине стоит буква $O$, которая и является вершиной угла на рисунке. Точки $M$ и $N$ лежат на разных сторонах угла. Это обозначение является правильным.

Г) $\angle NOM$
Это обозначение также является правильным. Как и в предыдущем пункте, вершина $O$ находится в центре, а точки $N$ и $M$ — на сторонах угла. Порядок крайних букв не меняет сути.

Таким образом, единственным неправильным обозначением угла, изображённого на рисунке, является $\angle OMN$.

Ответ: Б

В) они принадлежат одной прямой

Г) их объединением является прямая

8. Какое обозначение угла, изображённого на рисунке, является неверным?

А) $\angle O$

Б) $\angle OMN$

В) $\angle MON$

Г) $\angle NOM$

9. Какое из следующих утверждений неверно?

А) смежные углы имеют общую вершину

Б) смежные углы имеют общую сторону

В) всегда один из смежных углов острый, а другой – тупой

Г) если углы $AOC$ и $COB$ смежные, то лучи $OA$ и $OB$ дополнительные

Чтобы найти неверное утверждение, проанализируем каждое из них на соответствие определениям и свойствам смежных углов в геометрии.

А) смежные углы имеют общую вершину
Это утверждение верно. По определению, два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. Все три луча (один общий и два других) исходят из одной точки, которая и является их общей вершиной.

Б) смежные углы имеют общую сторону
Это утверждение верно. Наличие общей стороны — это ключевая часть определения смежных углов.

В) всегда один из смежных углов острый, а другой — тупой
Это утверждение неверно. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Если один угол острый (меньше $90^\circ$), то второй действительно будет тупым (больше $90^\circ$). Однако существует важный частный случай: если смежные углы образованы пересечением двух перпендикулярных прямых, то каждый из них будет прямым, то есть равным $90^\circ$. Прямой угол не является ни острым, ни тупым. Поскольку существует такое исключение, то утверждение, содержащее слово "всегда", является ложным.

Г) если углы АОС и СОВ смежные, то лучи ОА и ОВ дополнительные
Это утверждение верно. Оно также является частью определения смежных углов. Если у углов $AOC$ и $COB$ общая сторона $OC$, то для того, чтобы они были смежными, их другие стороны ($OA$ и $OB$) должны лежать на одной прямой, образуя развернутый угол. Такие лучи и называются дополнительными.

Таким образом, единственным неверным утверждением является В.
Ответ: В

9. Какое из следующих утверждений неверно?

А) смежные углы имеют общую вершину

Б) смежные углы имеют общую сторону

В) всегда один из смежных углов острый, а другой – тупой

Г) если углы $AOC$ и $COB$ – смежные, то лучи $OA$ и $OB$ – дополнительные