Номер 4, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 4, страница 47.

4. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причём $BC = 8$ см, $AB - BC = 8$ см. Какое из утверждений может быть верным?

А) точка $A$ – середина отрезка $BC$

Б) точка $B$ – середина отрезка $AC$

В) точка $C$ – середина отрезка $AB$

Г) точки $A$ и $B$ совпадают

По условию задачи дано, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Известны следующие соотношения:

1. Длина отрезка BC равна 8 см: $BC = 8$ см.

2. Разность длин отрезков AB и BC равна 8 см: $AB - BC = 8$ см.

Для начала найдем длину отрезка AB, используя данные нам уравнения. Подставим значение $BC = 8$ см во второе уравнение:

$AB - 8 = 8$

Отсюда находим AB:

$AB = 8 + 8 = 16$ см.

Теперь у нас есть длины двух отрезков: $AB = 16$ см и $BC = 8$ см. Поскольку точки лежат на одной прямой, возможно несколько вариантов их взаимного расположения. Проверим каждое из предложенных утверждений.

А) точка А – середина отрезка BC

Если точка А является серединой отрезка BC, то она должна лежать между точками B и C, и при этом должно выполняться равенство $BA = AC$. Из наших вычислений мы знаем, что $AB = 16$ см. Если бы A была серединой BC, то длина всего отрезка BC была бы равна $BC = BA + AC = 16 + 16 = 32$ см. Это противоречит условию, согласно которому $BC = 8$ см. Таким образом, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Б) точка B – середина отрезка AC

Если точка B является серединой отрезка AC, то она должна лежать между точками A и C, и должно выполняться равенство $AB = BC$. Мы знаем, что $AB = 16$ см и $BC = 8$ см. Так как $16 \neq 8$, равенство не выполняется. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

В) точка C – середина отрезка AB

Если точка C является серединой отрезка AB, то она должна лежать между точками A и B, и должно выполняться равенство $AC = CB$. При таком расположении точек (A-C-B) длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB: $AB = AC + CB$. Мы знаем, что $AB = 16$ см и $CB = BC = 8$ см. Найдем длину отрезка AC: $AC = AB - CB = 16 - 8 = 8$ см. Поскольку $AC = 8$ см и $CB = 8$ см, то $AC = CB$. Это полностью соответствует определению середины отрезка. Таким образом, это утверждение может быть верным.

Ответ: верно.

Г) точки А и В совпадают

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю, то есть $AB = 0$. Однако мы вычислили, что $AB = 16$ см. Так как $16 \neq 0$, точки не совпадают. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

4. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причём $BC = 8 \text{ см}$, $AB - AC = 8 \text{ см}$. Какое из следующих утверждений верно?

А) точка $A$ – середина отрезка $BC$

Б) точка $B$ – середина отрезка $AC$

В) точка $C$ – середина отрезка $AB$

Г) точки $A$ и $B$ совпадают