Номер 131, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 131, страница 40.

131. Прикладывая угольник то одной, то другой стороной, ученик через точку $A$ провёл два перпендикуляра к прямой $a$ (рис. 111). Что можно сказать об этом угольнике?

Рис. 111

Согласно аксиоме планиметрии, через любую точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

В условии задачи говорится, что ученик, используя угольник, провёл через точку A на прямой a два различных перпендикуляра. Поскольку через точку A можно провести только один-единственный перпендикуляр к прямой a, это означает, что по крайней мере одна из построенных прямых (а скорее всего, обе) на самом деле не является перпендикуляром.

Такая ситуация могла возникнуть только в том случае, если инструмент, который использовался для построения — угольник — имеет дефект. Угольники используются для построения прямых углов. Ученик, вероятно, прикладывал угольник к прямой a разными способами, используя один и тот же его угол для построения перпендикуляра. Если бы этот угол был прямым, то есть равным $90^{\circ}$, то в результате всех построений получалась бы одна и та же прямая — истинный перпендикуляр.

Поскольку ученик получил две разные прямые, можно сделать вывод, что тот угол угольника, который должен быть прямым, на самом деле не равен $90^{\circ}$. Например, если величина этого угла равна $\alpha$, то прикладывая одну сторону этого угла к прямой a, ученик строит прямую под углом $\alpha$ к прямой a. Если затем перевернуть угольник и повторить построение, то новая линия образует с прямой a угол, равный $180^{\circ} - \alpha$. Эти две прямые совпадут (то есть будут одной и той же прямой) только при условии, что $\alpha = 180^{\circ} - \alpha$, что эквивалентно $2\alpha = 180^{\circ}$, или $\alpha = 90^{\circ}$. Так как полученные прямые различны, можно сделать вывод, что $\alpha \neq 90^{\circ}$.

Ответ: Угол этого угольника, который должен быть прямым, на самом деле не равен $90^{\circ}$, то есть угольник является неточным.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Рис. 106

131. На рисунке 106 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?