Номер 5.35, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.35*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям.

Задача состоит в построении общих касательных к двум заданным окружностям с помощью циркуля и линейки. Общие касательные бывают двух видов: внешние (когда окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренние (когда окружности лежат по разные стороны от касательной). Рассмотрим построение каждого вида отдельно.

Пусть даны две окружности: $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

Построение внешних общих касательных

Метод построения зависит от того, равны ли радиусы окружностей.

Случай 1: Радиусы окружностей не равны ($R_1 \ne R_2$)

Для определенности предположим, что $R_1 > R_2$. Построение основано на сведении задачи к построению касательной из точки к окружности. Внешние касательные существуют, если одна окружность не находится полностью внутри другой, то есть расстояние между центрами $O_1O_2 \ge R_1 - R_2$.

• 1. Построим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_3 = R_1 - R_2$.
• 2. Построим касательные из точки $O_2$ к вспомогательной окружности $\omega_3$. Для этого:
  • а) Соединим точки $O_1$ и $O_2$ отрезком и найдем его середину, точку $M$.
  • б) Построим окружность с центром в $M$ и радиусом $MO_1$.
  • в) Эта окружность пересечет окружность $\omega_3$ в двух точках (если $O_1O_2 > R_1 - R_2$), назовем их $P_1$ и $P_2$. Если $O_1O_2 = R_1 - R_2$, то будет одна точка касания.
• 3. Проведем лучи из центра $O_1$ через точки $P_1$ и $P_2$. Луч $O_1P_1$ пересечет исходную окружность $\omega_1$ в точке $T_1$. Это будет точка касания первой касательной к окружности $\omega_1$.
• 4. Проведем из центра $O_2$ радиус $O_2T_2$ окружности $\omega_2$ параллельно радиусу $O_1T_1$ так, чтобы точки $T_1$ и $T_2$ находились по одну сторону от прямой $O_1O_2$.
• 5. Прямая, проходящая через точки $T_1$ и $T_2$, является одной из искомых внешних касательных.
• 6. Повторив шаги 3-5 для точки $P_2$, получим вторую внешнюю общую касательную.

Случай 2: Радиусы окружностей равны ($R_1 = R_2$)

Если радиусы равны, построение упрощается, так как внешние касательные параллельны линии центров $O_1O_2$.

• 1. Соединим центры $O_1$ и $O_2$ прямой.
• 2. В точке $O_1$ восстановим перпендикуляр к прямой $O_1O_2$.
• 3. Этот перпендикуляр пересечет окружность $\omega_1$ в двух точках. Назовем одну из них $T_1$.
• 4. В точке $O_2$ также восстановим перпендикуляр к прямой $O_1O_2$.
• 5. Этот перпендикуляр пересечет окружность $\omega_2$ в двух точках. Выберем ту из них, назовем ее $T_2$, которая лежит по ту же сторону от прямой $O_1O_2$, что и точка $T_1$.
• 6. Прямая, проходящая через точки $T_1$ и $T_2$, является одной из искомых внешних касательных. Вторая касательная строится аналогично, используя другие точки пересечения перпендикуляров с окружностями.

Ответ: Вышеописанные алгоритмы позволяют построить одну или две внешние общие касательные к данным окружностям, если они существуют.

Построение внутренних общих касательных

Внутренние общие касательные существуют только в том случае, если окружности не пересекаются и не лежат одна внутри другой, то есть расстояние между центрами $O_1O_2 \ge R_1 + R_2$. Построение также сводится к построению касательной из точки к окружности.

• 1. Построим вспомогательную окружность $\omega_4$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_4 = R_1 + R_2$.
• 2. Построим касательные из точки $O_2$ к вспомогательной окружности $\omega_4$. Для этого:
  • а) Соединим точки $O_1$ и $O_2$ отрезком и найдем его середину, точку $M$.
  • б) Построим окружность с центром в $M$ и радиусом $MO_1$.
  • в) Эта окружность пересечет окружность $\omega_4$ в двух точках (если $O_1O_2 > R_1 + R_2$), назовем их $Q_1$ и $Q_2$. Если $O_1O_2 = R_1 + R_2$, то будет одна точка касания.
• 3. Проведем отрезок $O_1Q_1$. Он пересечет исходную окружность $\omega_1$ в точке $T_1$. Это будет точка касания первой касательной к окружности $\omega_1$.
• 4. Проведем из центра $O_2$ радиус $O_2T_2$ окружности $\omega_2$ параллельно радиусу $O_1T_1$ так, чтобы точки $T_1$ и $T_2$ находились по разные стороны от прямой $O_1O_2$.
• 5. Прямая, проходящая через точки $T_1$ и $T_2$, является одной из искомых внутренних касательных.
• 6. Повторив шаги 3-5 для точки $Q_2$, получим вторую внутреннюю общую касательную.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет построить одну или две внутренние общие касательные к данным окружностям, если они существуют.