Номер 5.29, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Решение (Построение)

Пусть дана окружность $\omega$ и две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Требуется найти на окружности $\omega$ точку (или точки) $M$, равноудаленную от прямых $a$ и $b$.

Задача сводится к нахождению точек, удовлетворяющих двум условиям:

1. Точка должна лежать на данной окружности $\omega$.

2. Точка должна быть равноудалена от двух данных пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Эти две биссектрисы являются взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через точку пересечения прямых $a$ и $b$. Обозначим эти биссектрисы как $b_1$ и $b_2$.

Таким образом, искомые точки являются точками пересечения геометрического места из первого условия (окружность $\omega$) и геометрического места из второго условия (пара прямых $b_1$ и $b_2$).

Алгоритм построения:

1. Находим точку пересечения данных прямых $a$ и $b$.

2. Строим биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов, образованных прямыми $a$ и $b$.

3. Находим точки пересечения построенных биссектрис $b_1$ и $b_2$ с данной окружностью $\omega$.

Полученные точки пересечения и будут являться решениями задачи.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности с биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения окружности $\omega$ с парой прямых $b_1$ и $b_2$. Одна прямая может пересекать окружность в 0, 1 (касание) или 2 точках. Поскольку у нас две прямые ($b_1$ и $b_2$), то общее количество решений зависит от их взаимного расположения с окружностью.

Рассмотрим возможные случаи:

• 0 решений: Если ни одна из биссектрис не пересекает окружность. Такое возможно, если точка пересечения прямых $a$ и $b$ находится достаточно далеко от окружности.
• 1 решение: Если одна из биссектрис касается окружности в одной точке, а вторая биссектриса не имеет с окружностью общих точек.

• 2 решения: Этот случай возможен в двух вариантах:

  а) Одна биссектриса пересекает окружность в двух точках, а вторая не имеет с ней общих точек.

  б) Обе биссектрисы касаются окружности (каждая в одной точке).

• 3 решения: Если одна из биссектрис пересекает окружность в двух точках, а вторая касается ее в одной точке.
• 4 решения: Если каждая из двух биссектрис пересекает окружность в двух различных точках. Это произойдет, например, если точка пересечения прямых $a$ и $b$ находится внутри окружности.

Таким образом, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.