Номер 5.24, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24*. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.

Для решения задачи построим искомый треугольник `ABC` по заданной стороне `a`, высоте `h_a` к этой стороне и медиане `m_b`, проведенной к одной из двух других сторон.

Без ограничения общности, пусть нам даны:

• длина стороны `BC`, равная `a`;
• длина высоты `AH`, проведенной из вершины `A` к стороне `BC`, равная `h_a`;
• длина медианы `BM`, проведенной из вершины `B` к стороне `AC`, равная `m_b`.

Анализ

1. Положение вершины `A` определяется тем, что она удалена от прямой, содержащей сторону `BC`, на расстояние `h_a`. Геометрическим местом таких точек является пара прямых, параллельных `BC` и отстоящих от нее на `h_a`. Выберем одну из них и назовем ее `l`.

2. Медиана `BM` соединяет вершину `B` с серединой `M` стороны `AC`. Длина `BM` равна `m_b`. Это означает, что точка `M` лежит на окружности с центром в точке `B` и радиусом `m_b`.

3. Найдем еще одно геометрическое место для точки `M`. Рассмотрим прямую `BC` и параллельную ей прямую `l`, на которой лежит точка `A`. Расстояние между этими прямыми равно `h_a`. Точка `M` является серединой отрезка `AC`. Если из точек `A` и `M` опустить перпендикуляры `AH` и `MP` на прямую, содержащую `BC`, то `MP` будет средней линией трапеции `AHC'C` (где `C'` - проекция `A` на прямую `HC`) или треугольника (если `C=H`). По свойству средней линии (или из подобия треугольников), длина `MP` равна половине длины `AH`. Таким образом, `MP = h_a / 2`.

4. Это означает, что точка `M` лежит на прямой `p`, параллельной `BC` и находящейся на расстоянии `h_a / 2` от нее (между `BC` и `l`).

5. Итак, точка `M` является точкой пересечения двух известных нам ГМТ: окружности с центром `B` радиуса `m_b` и прямой `p`, параллельной `BC` и отстоящей от нее на `h_a / 2`.

6. После нахождения точки `M` мы можем построить вершину `A`. Так как `M` — середина `AC`, то `\vec{CA} = 2 \cdot \vec{CM}`. То есть, чтобы найти `A`, нужно продлить отрезок `CM` за точку `M` на его же длину.

Построение

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок `BC` длиной `a`.

2. Построим прямую `p`, параллельную прямой `BC`, на расстоянии `h_a / 2` от нее. Для этого в точке `B` можно восставить перпендикуляр к `BC`, отложить на нем отрезок `BK` длиной `h_a`, найти середину `D` отрезка `BK` и провести через точку `D` прямую `p` параллельно `BC`.

3. С центром в точке `B` проведем окружность радиусом `m_b`.

4. Эта окружность пересечет прямую `p` в одной, двух или ни одной точке. Выберем одну из точек пересечения (если они есть) и обозначим ее `M`.

5. Проведем прямую через точки `C` и `M`.

6. На прямой `CM` от точки `M` отложим отрезок `MA`, равный отрезку `CM`, так, чтобы `M` оказалась между `C` и `A`. Точка `A` является третьей вершиной треугольника.

7. Соединим точки `A`, `B`, `C`. Треугольник `ABC` — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике `ABC` сторона `BC` по построению равна `a`.

Отрезок `BM` является медианой, так как `M` — середина `AC` по построению. Его длина равна `m_b`, так как `M` — точка на окружности с центром `B` и радиусом `m_b`.

Докажем, что высота из `A` на `BC` равна `h_a`. Расстояние от точки `C` до прямой `BC` равно 0. Расстояние от точки `M` до прямой `BC` равно `h_a / 2` по построению. Так как `M` — середина `AC`, то расстояние от `M` до прямой `BC` равно полусумме расстояний от `A` и `C` до этой прямой. Обозначим `d(X, L)` расстояние от точки `X` до прямой `L`. $d(M, BC) = \frac{d(A, BC) + d(C, BC)}{2}$ $ \frac{h_a}{2} = \frac{d(A, BC) + 0}{2} $ Отсюда `d(A, BC) = h_a`. Следовательно, высота треугольника, опущенная из вершины `A` на сторону `BC`, равна `h_a`. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если окружность (с центром `B`, радиусом `m_b`) и прямая `p` (параллельная `BC` на расстоянии `h_a / 2`) имеют общие точки. Расстояние от центра окружности `B` до прямой `p` равно `h_a / 2`.

1. Если `$m_b < \frac{h_a}{2}$`, то окружность и прямая не пересекаются, и решений нет.

2. Если `$m_b = \frac{h_a}{2}$`, то окружность касается прямой `p` в одной точке. Задача имеет одно решение.

3. Если `$m_b > \frac{h_a}{2}$`, то окружность пересекает прямую `p` в двух точках (`M_1` и `M_2`). Каждая из этих точек позволяет построить свой треугольник (`\triangle A_1BC` и `\triangle A_2BC`). В общем случае эти треугольники не конгруэнтны. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Построение, доказательство и исследование задачи представлены выше. Задача имеет решение при выполнении условия $m_b \ge \frac{h_a}{2}$. Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, решение единственно. Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, существует два различных решения.