Номер 5.24, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24*. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.

Для решения задачи построим искомый треугольник $ABC$ по заданной стороне $a$, высоте $h_a$ к этой стороне и медиане $m_b$, проведенной к одной из двух других сторон.

Без ограничения общности, пусть нам даны:

• длина стороны $BC$, равная $a$;
• длина высоты $AH$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, равная $h_a$;
• длина медианы $BM$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$, равная $m_b$.

Анализ

1. Положение вершины $A$ определяется тем, что она удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h_a$. Геометрическим местом таких точек является пара прямых, параллельных $BC$ и отстоящих от нее на $h_a$. Выберем одну из них и назовем ее $l$.

2. Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ стороны $AC$. Длина $BM$ равна $m_b$. Это означает, что точка $M$ лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

3. Найдем еще одно геометрическое место для точки $M$. Рассмотрим прямую $BC$ и параллельную ей прямую $l$, на которой лежит точка $A$. Расстояние между этими прямыми равно $h_a$. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Если из точек $A$ и $M$ опустить перпендикуляры $AH$ и $MP$ на прямую, содержащую $BC$, то $MP$ будет средней линией трапеции $AHC'C$ (где $C'$ - проекция $A$ на прямую $HC$) или треугольника (если $C=H$). По свойству средней линии (или из подобия треугольников), длина $MP$ равна половине длины $AH$. Таким образом, $MP = h_a / 2$.

4. Это означает, что точка $M$ лежит на прямой $p$, параллельной $BC$ и находящейся на расстоянии $h_a / 2$ от нее (между $BC$ и $l$).

5. Итак, точка $M$ является точкой пересечения двух известных нам ГМТ: окружности с центром $B$ радиуса $m_b$ и прямой $p$, параллельной $BC$ и отстоящей от нее на $h_a / 2$.

6. После нахождения точки $M$ мы можем построить вершину $A$. Так как $M$ — середина $AC$, то $\vec{CA} = 2 \cdot \vec{CM}$. То есть, чтобы найти $A$, нужно продлить отрезок $CM$ за точку $M$ на его же длину.

Построение

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$ длиной $a$.

2. Построим прямую $p$, параллельную прямой $BC$, на расстоянии $h_a / 2$ от нее. Для этого в точке $B$ можно восставить перпендикуляр к $BC$, отложить на нем отрезок $BK$ длиной $h_a$, найти середину $D$ отрезка $BK$ и провести через точку $D$ прямую $p$ параллельно $BC$.

3. С центром в точке $B$ проведем окружность радиусом $m_b$.

4. Эта окружность пересечет прямую $p$ в одной, двух или ни одной точке. Выберем одну из точек пересечения (если они есть) и обозначим ее $M$.

5. Проведем прямую через точки $C$ и $M$.

6. На прямой $CM$ от точки $M$ отложим отрезок $MA$, равный отрезку $CM$, так, чтобы $M$ оказалась между $C$ и $A$. Точка $A$ является третьей вершиной треугольника.

7. Соединим точки $A$, $B$, $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$.

Отрезок $BM$ является медианой, так как $M$ — середина $AC$ по построению. Его длина равна $m_b$, так как $M$ — точка на окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$.

Докажем, что высота из $A$ на $BC$ равна $h_a$. Расстояние от точки $C$ до прямой $BC$ равно 0. Расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно $h_a / 2$ по построению. Так как $M$ — середина $AC$, то расстояние от $M$ до прямой $BC$ равно полусумме расстояний от $A$ и $C$ до этой прямой. Обозначим $d(X, L)$ расстояние от точки $X$ до прямой $L$. $d(M, BC) = \frac{d(A, BC) + d(C, BC)}{2}$ $ \frac{h_a}{2} = \frac{d(A, BC) + 0}{2} $ Отсюда $d(A, BC) = h_a$. Следовательно, высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, равна $h_a$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если окружность (с центром $B$, радиусом $m_b$) и прямая $p$ (параллельная $BC$ на расстоянии $h_a / 2$) имеют общие точки. Расстояние от центра окружности $B$ до прямой $p$ равно $h_a / 2$.

1. Если $$m_b < \frac{h_a}{2}$$, то окружность и прямая не пересекаются, и решений нет.

2. Если $$m_b = \frac{h_a}{2}$$, то окружность касается прямой $p$ в одной точке. Задача имеет одно решение.

3. Если $$m_b > \frac{h_a}{2}$$, то окружность пересекает прямую $p$ в двух точках ($M_1$ и $M_2$). Каждая из этих точек позволяет построить свой треугольник ($\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$). В общем случае эти треугольники не конгруэнтны. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Построение, доказательство и исследование задачи представлены выше. Задача имеет решение при выполнении условия $m_b \ge \frac{h_a}{2}$. Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, решение единственно. Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, существует два различных решения.