Номер 5.30, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

Построение точки, равноудаленной от этих прямых

Пусть даны три попарно пересекающиеся прямые $a$, $b$ и $c$, не проходящие через одну точку. Эти три прямые образуют треугольник. Обозначим вершины этого треугольника как $A$ (пересечение прямых $b$ и $c$), $B$ (пересечение прямых $a$ и $c$) и $C$ (пересечение прямых $a$ и $b$).

Нам нужно найти все точки $M$, для которых расстояние до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$ и равно расстоянию до прямой $c$. То есть, $d(M, a) = d(M, b) = d(M, c)$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Следовательно, искомые точки должны лежать на пересечении биссектрис углов, образованных парами прямых ($a, b$), ($b, c$) и ($a, c$).

Такими точками являются центры окружностей, касающихся всех трех прямых. Существует четыре таких окружности: одна вписанная и три вневписанные.

1. Центр вписанной окружности (инцентр).

   Эта точка лежит внутри треугольника $ABC$. Для ее построения необходимо:

   • Построить биссектрисы двух любых внутренних углов треугольника $ABC$.
   • Точка их пересечения и будет первой искомой точкой ($O_1$). Она равноудалена от всех трех прямых.

2. Центры вневписанных окружностей (эксцентры).

   Эти три точки лежат вне треугольника $ABC$. Для построения каждой из них необходимо:

   • Выбрать одну из вершин треугольника, например $A$. Построить биссектрисы внешних углов при двух других вершинах ($B$ и $C$).
   • Точка пересечения этих двух биссектрис внешних углов будет центром одной из вневписанных окружностей ($O_2$). Эта точка также лежит на биссектрисе внутреннего угла при вершине $A$.
   • Аналогично строятся две другие точки ($O_3$ и $O_4$) путем выбора биссектрис внешних углов при парах вершин ($A, C$) и ($A, B$).

Таким образом, все четыре точки (центр вписанной и три центра вневписанных окружностей) являются решениями задачи.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения биссектрис углов, образованных данными прямыми. Это центр вписанной и три центра вневписанных окружностей для треугольника, образованного этими прямыми.

Сколько решений имеет задача?

Как следует из анализа и построения, существует четыре точки, равноудаленные от трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих через одну точку:

• Одна точка — центр вписанной в образованный треугольник окружности. Она находится как пересечение трех биссектрис внутренних углов треугольника.
• Три точки — центры трех вневписанных окружностей. Каждая из них находится как точка пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов треугольника.

Итого, задача имеет $1 + 3 = 4$ решения.

Ответ: Задача имеет 4 решения.