Номер 5.34, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.34*. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

Для решения задачи построим вспомогательный треугольник, который можно будет построить по известным элементам, а затем из него получить искомый треугольник.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим его стороны и углы: $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$; $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. По условию нам даны сторона $c$, сумма $s = a+b$ и разность углов $\delta = |\alpha - \beta|$. Для определённости предположим, что $\alpha > \beta$, тогда $\delta = \alpha - \beta$.

Продолжим сторону $AC$ за точку $C$ и отложим на этом продолжении отрезок $CD$, равный стороне $BC=a$. Тогда длина отрезка $AD$ будет равна $AC+CD = b+a = s$.

Рассмотрим полученный треугольник $BCD$. Так как по построению $CB=CD$, он является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.

Угол $\gamma = \angle ACB$ является внешним углом для треугольника $BCD$, поэтому он равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов: $\gamma = \angle CBD + \angle CDB = 2\angle CDB$. Отсюда следует, что $\angle CDB = \gamma/2$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ имеем $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, откуда $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Тогда $\angle CDB = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. Мы знаем длины двух его сторон: $AB=c$ и $AD=s$. Найдём угол $\angle ABD$. Он состоит из двух углов: $\angle ABC$ и $\angle CBD$.

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \beta + \frac{\gamma}{2} = \beta + \frac{180^\circ - (\alpha+\beta)}{2} = \beta + 90^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}$.

По нашему предположению, $\alpha - \beta = \delta$, значит $\beta - \alpha = -\delta$. Подставив это в выражение для угла, получаем: $\angle ABD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по двум сторонам ($AB=c$, $AD=s$) и углу, противолежащему стороне $AD$ ($\angle ABD = 90^\circ - \delta/2$). После того как треугольник $ABD$ будет построен, вершина $C$ искомого треугольника будет лежать на отрезке $AD$. Также, поскольку $CB=CD$, точка $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. Следовательно, точка $C$ — это точка пересечения отрезка $AD$ и серединного перпендикуляра к $BD$.

Построение

1. Имея угол $\delta$, строим его биссектрису, чтобы получить угол $\delta/2$.

2. Строим прямой угол ($90^\circ$) и вычитаем из него угол $\delta/2$, чтобы получить угол $90^\circ - \delta/2$.

3. Проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $AB$, равный данной стороне $c$.

4. От луча $BA$ в точке $B$ откладываем угол $\angle ABK$, равный $90^\circ - \delta/2$.

5. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным данной сумме сторон $s$.

6. Точку пересечения дуги окружности и луча $BK$ обозначаем буквой $D$.

7. Соединяем точки $A$ и $D$ отрезком. Мы получили вспомогательный треугольник $ABD$.

8. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.

9. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра и отрезка $AD$ является искомой вершиной $C$.

10. Соединяем точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Убедимся, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Сторона $AB$ равна $c$ по построению.

2. Сумма сторон $AC+BC$ равна $s$. По построению, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, следовательно, $CB = CD$. Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$, поэтому $AC+CD=AD$. Точка $D$ была найдена как пересечение с окружностью радиуса $s$ с центром в $A$, поэтому $AD=s$. Таким образом, $AC+BC=AC+CD=AD=s$.

3. Разность углов $\angle A - \angle B$ равна $\delta$. Обозначим $\angle CAB = \alpha'$ и $\angle CBA = \beta'$. В построенном нами треугольнике $BCD$ ($CB=CD$) $\angle CBD = \angle CDB$. Угол $\angle CDB$ — это угол $\angle ADB$ в треугольнике $ABD$. Обозначим его $\angle D_{ABD}$. Угол $\beta'$ равен $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = (90^\circ - \delta/2) - \angle D_{ABD}$. Угол $\alpha'$ равен $\angle CAB = \angle DAB$. Из суммы углов треугольника $ABD$ получаем: $\alpha' + \angle ABD + \angle D_{ABD} = 180^\circ$, откуда $\alpha' = 180^\circ - (90^\circ - \delta/2) - \angle D_{ABD} = 90^\circ + \delta/2 - \angle D_{ABD}$.

Теперь найдем разность $\alpha' - \beta'$:

$\alpha' - \beta' = (90^\circ + \delta/2 - \angle D_{ABD}) - (90^\circ - \delta/2 - \angle D_{ABD}) = 90^\circ + \delta/2 - \angle D_{ABD} - 90^\circ + \delta/2 + \angle D_{ABD} = \delta$.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Исследование

Задача имеет решение, если все шаги построения выполнимы.

Основным шагом является нахождение точки $D$. Она существует, если окружность с центром в $A$ и радиусом $s$ пересекает луч $BK$. Для этого необходимо, чтобы расстояние от точки $A$ до прямой $BK$ было не больше радиуса $s$. Это расстояние $h$ равно $AB \sin(\angle ABK) = c \sin(90^\circ - \delta/2) = c \cos(\delta/2)$. Итак, требуется $s \ge c \cos(\delta/2)$.

С другой стороны, для существования любого невырожденного треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника, в частности $AC+BC > AB$, что означает $s>c$.

Поскольку $\delta$ — это разность углов треугольника, $0^\circ < \delta < 180^\circ$, то $0 < \delta/2 < 90^\circ$, и $\cos(\delta/2) \le 1$. Поэтому из условия $s>c$ автоматически следует $s > c \cos(\delta/2)$.

Анализ показывает, что при $s>c$ существует единственная точка пересечения $D$ на луче $BK$, что приводит к единственному решению (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Задача имеет единственное решение, если выполняются условия, необходимые для существования треугольника с заданными параметрами: $s > c$ и $0^\circ < \delta < 180^\circ$.