Номер 5.28, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.28. Постройте прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, если даны острый угол $\angle B$ и биссектриса $BD$.

Задача заключается в построении прямоугольного треугольника $ABC$ по известному острому углу $\angle B$ и длине его биссектрисы $BD$. Поскольку угол $B$ является острым, прямой угол треугольника ($90^\circ$) может быть либо при вершине $A$, либо при вершине $C$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Прямой угол при вершине C ($\angle C = 90^\circ$)

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$, $\angle B$ — заданный угол, а $BD$ — биссектриса этого угла известной длины, причем точка $D$ лежит на катете $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. В этом треугольнике нам известны: гипотенуза $BD$ (ее длина дана) и острый угол $\angle DBC$, который равен половине данного угла $B$ (т.е. $\angle DBC = \frac{\angle B}{2}$), так как $BD$ — биссектриса. Прямоугольный треугольник можно однозначно построить по гипотенузе и острому углу. После построения $\triangle BDC$ мы определим положение вершин $B$, $C$ и точки $D$. Вершину $A$ можно будет найти, достроив треугольник $ABC$.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки строим угол, равный $\frac{\angle B}{2}$. Для этого сначала строим данный угол $\angle B$, а затем его биссектрису.

2. Проводим произвольную прямую $m$ и выбираем на ней точку $B$. От луча, исходящего из $B$ и лежащего на прямой $m$, откладываем угол, равный $\frac{\angle B}{2}$. Получим второй луч $l$.

3. На луче $l$ от точки $B$ откладываем отрезок $BD$, равный данной длине биссектрисы.

4. Из точки $D$ опускаем перпендикуляр на прямую $m$. Точку пересечения перпендикуляра с прямой $m$ обозначим как $C$. В результате будет построен прямоугольный $\triangle BDC$.

5. Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, содержит катет $AC$.

6. От луча $CB$ (лежащего на прямой $m$) откладываем угол, равный данному углу $\angle B$, так, чтобы луч $BD$ оказался внутри этого угла. Полученный новый луч содержит сторону $AB$.

7. Точка пересечения этого луча со стороной $AB$ и прямой $CD$ и будет искомой вершиной $A$.

Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ по построению. Угол $\angle ABC$ равен данному углу $\angle B$ по построению. Отрезок $BD$ имеет заданную длину. Поскольку $\angle ABC = \angle B$ и $\angle DBC = \frac{\angle B}{2}$, то $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = \angle B - \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle B}{2}$. Следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$, и точка $D$ лежит на стороне $AC$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение, описанное в пунктах 1-7, является решением задачи для случая, когда прямой угол находится при вершине C.

Случай 2. Прямой угол при вершине A ($\angle A = 90^\circ$)

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle A = 90^\circ$, $\angle B$ — заданный острый угол, а $BD$ — биссектриса этого угла известной длины, причем точка $D$ лежит на катете $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нем нам известны: гипотенуза $BD$ (ее длина дана) и острый угол $\angle ABD$, который равен $\frac{\angle B}{2}$. Как и в первом случае, $\triangle ABD$ можно построить по гипотенузе и острому углу. После его построения мы найдем вершины $A$, $B$ и точку $D$. Вершину $C$ найдем как точку пересечения прямых $AD$ и $BC$.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки строим угол, равный $\frac{\angle B}{2}$.

2. Строим отрезок $BD$ заданной длины.

3. Строим прямоугольный треугольник $ABD$ с гипотенузой $BD$ и острым углом $\angle ABD = \frac{\angle B}{2}$. Для этого можно построить окружность, для которой $BD$ является диаметром; затем в точке $B$ от луча $BD$ отложить угол $\frac{\angle B}{2}$; точка пересечения второй стороны угла с окружностью будет вершиной $A$. Угол $\angle BAD$ будет прямым, так как он вписанный и опирается на диаметр.

4. Прямая, проходящая через точки $A$ и $D$, содержит катет $AC$.

5. Строим луч $BC$ так, чтобы угол $\angle DBC$ был равен углу $\angle ABD$ (то есть $\frac{\angle B}{2}$), и луч $BD$ находился между лучами $BA$ и $BC$.

6. Точка пересечения луча $BC$ и прямой $AD$ и будет искомой вершиной $C$.

Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном $\triangle ABC$ угол $\angle A = 90^\circ$ по построению. Отрезок $BD$ имеет заданную длину. Угол $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle B}{2} = \angle B$, что соответствует данному углу. Так как $\angle ABD = \angle DBC$, $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$, и точка $D$ лежит на стороне $AC$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение, описанное в пунктах 1-6, является решением задачи для случая, когда прямой угол находится при вершине A.