Номер 5.31, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Дана окружность с центром $O$ и точка $A$ вне ее. Проведите через точку $A$ прямую, пересекающую окружность в точках $B$ и $C$, таких, что $AB = BC$.

Для решения этой задачи на построение воспользуемся методом гомотетии. Решение будет состоять из четырех частей: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомая прямая, проходящая через точку $A$, пересекает данную окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$ в точках $B$ и $C$. Согласно условию, $AB = BC$. Если мы предположим, что точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то это означает, что $B$ является серединой отрезка $AC$.

Это отношение можно описать с помощью гомотетии (преобразования подобия) с центром в точке $A$. Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

При этой гомотетии образом точки $C$ является точка $B$, так как по определению гомотетии $\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Точка $C$ по условию лежит на окружности $\omega(O, R)$. Следовательно, ее образ, точка $B$, должна лежать на образе окружности $\omega$ при гомотетии $H$. Образом окружности $\omega(O, R)$ при гомотетии $H(A, 1/2)$ является окружность $\omega'(O', R')$.

• Центр новой окружности $O'$ определяется условием $\vec{AO'} = \frac{1}{2}\vec{AO}$, то есть $O'$ — это середина отрезка $AO$.
• Радиус новой окружности $R'$ равен $R' = |k| \cdot R = \frac{1}{2}R$.

Таким образом, точка $B$ должна одновременно принадлежать двум окружностям: исходной $\omega$ и построенной $\omega'$. Это означает, что $B$ является точкой их пересечения. Этот вывод дает нам четкий алгоритм построения.

Построение

1. Соединить точку $A$ с центром окружности $O$ отрезком $AO$.
2. С помощью циркуля и линейки построить середину отрезка $AO$. Обозначим эту точку $O'$.
3. Построить вспомогательную окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и радиусом $R' = R/2$, где $R$ — радиус исходной окружности $\omega$.
4. Найти точки пересечения окружности $\omega$ и окружности $\omega'$. Обозначим одну из этих точек как $B$. (Если точки пересечения отсутствуют, задача не имеет решения).
5. Провести прямую через точки $A$ и $B$. Эта прямая и будет искомой.

Доказательство

Пусть прямая, построенная в шаге 5, пересекает исходную окружность $\omega$ в точках $B$ и $C$. Необходимо доказать, что $AB = BC$.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром $A$ и коэффициентом $k = 1/2$. По нашему построению, окружность $\omega'(O', R/2)$ является образом окружности $\omega(O, R)$ при этой гомотетии, то есть $H(\omega) = \omega'$.

Точка $B$ по построению лежит на обеих окружностях. Так как $B \in \omega'$, ее прообраз при обратной гомотетии $H^{-1}$ (с центром $A$ и коэффициентом 2) должен лежать на прообразе $\omega'$, то есть на окружности $\omega$.

Пусть $C' = H^{-1}(B)$. Тогда точка $C'$ лежит на окружности $\omega$. По определению гомотетии, точки $A$, $B$ и $C'$ лежат на одной прямой, и выполняется векторное равенство $\vec{AC'} = 2\vec{AB}$. Это равенство означает, что $B$ — середина отрезка $AC'$, и, следовательно, длины отрезков равны: $AB = BC'$.

Таким образом, точка $C'$ является точкой пересечения прямой $AB$ с окружностью $\omega$, отличной от $B$. Но по определению, эта точка пересечения есть $C$. Следовательно, $C' = C$.

Из этого следует, что $B$ является серединой отрезка $AC$, и $AB = BC$. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются. Условие пересечения двух окружностей: расстояние между их центрами должно быть не больше суммы их радиусов и не меньше модуля разности их радиусов.

• Расстояние между центрами: $d(O, O') = AO/2$.
• Сумма радиусов: $R + R/2 = 3R/2$.
• Модуль разности радиусов: $|R - R/2| = R/2$.

Условие пересечения записывается в виде двойного неравенства: $R/2 \le AO/2 \le 3R/2$.

Умножив все части на 2, получаем: $R \le AO \le 3R$.

Поскольку по условию точка $A$ находится вне окружности, то $AO > R$. Таким образом, условие существования решения: $R < AO \le 3R$.

• Если $R < AO < 3R$, окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в двух точках. Следовательно, существуют две такие прямые, и задача имеет два решения.
• Если $AO = 3R$, окружности касаются в одной точке. Задача имеет одно решение.
• Если $AO > 3R$, окружности не пересекаются. Задача не имеет решений.

Ответ: Для построения искомой прямой необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти точку $O'$ — середину отрезка $AO$, где $O$ — центр данной окружности.

2. Построить вспомогательную окружность с центром в точке $O'$ и радиусом, равным половине радиуса исходной окружности ($R/2$).

3. Найти точку $B$, которая является точкой пересечения исходной и вспомогательной окружностей.

4. Провести прямую через точки $A$ и $B$. Эта прямая будет искомой.