Номер 5.27, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.27. Постройте треугольник $ABC$ по сторонам $AC$, $BC$ и медиане $BN$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. По условию задачи нам известны длины сторон $AC$, $BC$ и медианы $BN$. Обозначим эти длины соответственно как $b$, $a$ и $m_b$.

По определению, медиана $BN$ делит сторону $AC$ пополам в точке $N$. Следовательно, точка $N$ является серединой отрезка $AC$, и выполняются равенства $AN = NC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим треугольник $BNC$. В этом треугольнике нам известны длины всех трех сторон:

• $BC = a$ (по условию)
• $BN = m_b$ (по условию)
• $NC = \frac{b}{2}$ (как половина стороны $AC$)

Треугольник можно построить по трем сторонам. Значит, мы можем построить треугольник $BNC$. Построив его, мы определим положение вершин $B$, $N$ и $C$.

Поскольку $N$ — это середина стороны $AC$, вершина $A$ находится на прямой $CN$ на таком же расстоянии от $N$, что и точка $C$, но с противоположной стороны. Иными словами, точка $A$ симметрична точке $C$ относительно точки $N$.

Таким образом, план построения заключается в том, чтобы сначала построить вспомогательный треугольник $BNC$ по трем известным сторонам, а затем найти вершину $A$ путем продления отрезка $CN$.

Ответ: План построения состоит в последовательном построении треугольника $BNC$ по трем сторонам ($BC$, $BN$ и половине $AC$) и последующем нахождении вершины $A$ как точки, симметричной вершине $C$ относительно точки $N$.

Построение

Пусть даны три отрезка, равные длинам $a$, $b$ и $m_b$.

1. Построим отрезок, равный $\frac{b}{2}$. Для этого с помощью циркуля и линейки найдем середину отрезка длиной $b$ (например, построив серединный перпендикуляр).
2. Приступим к построению треугольника $BNC$:
1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $NC$ длиной $\frac{b}{2}$.
2. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине стороны $BC$ ($a$).
3. Построим окружность с центром в точке $N$ и радиусом, равным длине медианы $BN$ ($m_b$).
4. Точка пересечения этих двух окружностей является вершиной $B$. Если окружности имеют две точки пересечения, можно выбрать любую из них, так как получаемые треугольники будут конгруэнтны.
3. Соединим точки $B$, $N$ и $C$ отрезками. Треугольник $BNC$ построен.
4. Найдем вершину $A$: на прямой $CN$ отложим от точки $N$ отрезок $NA$, равный отрезку $NC$, так, чтобы точка $N$ находилась между $A$ и $C$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$, полученный в результате этих построений, является искомым.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен согласно приведенному алгоритму.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

По построению (шаг 2b), длина стороны $BC$ равна заданной длине $a$.

По построению (шаг 4), $AN = NC$ и точки $A$, $N$, $C$ лежат на одной прямой. Это означает, что $N$ — середина стороны $AC$, и, следовательно, отрезок $BN$ является медианой треугольника $ABC$. Длина медианы $BN$ равна заданной длине $m_b$ по построению (шаг 2c).

Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $NC$. Так как $NC = \frac{b}{2}$ и $AN = NC$, то $AC = AN + NC = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$. Таким образом, длина стороны $AC$ равна заданной длине $b$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $AC$ и $BC$ и медиану $BN$ заданных длин. Построение верно.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является искомым, поскольку все условия, указанные в задаче, выполнены.

Исследование

Ключевым этапом построения является построение вспомогательного треугольника $BNC$. Такое построение возможно тогда и только тогда, когда для длин его сторон $a$, $m_b$ и $\frac{b}{2}$ выполняется неравенство треугольника.

Таким образом, задача имеет решение, если одновременно выполняются три условия:

• $a + m_b > \frac{b}{2}$
• $a + \frac{b}{2} > m_b$
• $m_b + \frac{b}{2} > a$

Если эти строгие неравенства выполняются, то окружности в шаге 2 построения пересекаются в двух различных точках (симметричных относительно прямой $NC$). Выбор любой из этих точек в качестве вершины $B$ приводит к построению треугольника, удовлетворяющего условию. Два возможных треугольника будут конгруэнтны друг другу. Следовательно, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Если одно из неравенств превращается в равенство (например, $a + m_b = \frac{b}{2}$), то точки $B, N, C$ оказываются на одной прямой, и треугольник $BNC$ (а с ним и $ABC$) вырождается. В этом случае задача не имеет решения в классе невырожденных треугольников.

Если одно из неравенств не выполняется (например, $a + m_b < \frac{b}{2}$), то окружности не пересекаются, и построение вершины $B$ невозможно. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если заданные длины $a, b, m_b$ удовлетворяют неравенствам треугольника для сторон $a$, $m_b$ и $\frac{b}{2}$. Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется или обращается в равенство, задача не имеет решений в классе невырожденных треугольников.