Номер 5.20, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведем из вершины $C$ высоту $CH$, медиану $CM$ и биссектрису $CL$ на гипотенузу $AB$. Обозначим острые углы треугольника как $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Поскольку треугольник прямоугольный, $\alpha + \beta = 90^\circ$. По условию задачи, катеты $AC$ и $BC$ не равны, следовательно, и противолежащие им углы не равны, то есть $\alpha \ne \beta$.

Требуется доказать, что биссектриса $CL$ делит угол $\angle HCM$ пополам, то есть что $\angle HCL = \angle LCM$. Для этого найдем величины этих углов через углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем угол $\angle ACH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $\angle AHC = 90^\circ$ и $\angle HAC = \alpha$, то $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Из равенства $\alpha + \beta = 90^\circ$ следует, что $\angle ACH = \beta$.

2. Найдем угол $\angle ACM$. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, $CM = AM = \frac{1}{2}AB$. Это означает, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ACM = \angle CAM = \alpha$.

3. Так как $CL$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$, она делит его на два равных угла: $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь мы можем выразить искомые углы. Без ограничения общности предположим, что катет $AC < BC$, тогда $\alpha > \beta$. Из $\alpha + \beta = 90^\circ$ следует, что $\alpha > 45^\circ$ и $\beta < 45^\circ$. Таким образом, мы имеем следующую последовательность углов: $\angle ACH = \beta < 45^\circ$ и $\angle ACM = \alpha > 45^\circ$. Так как $\angle ACL = 45^\circ$, биссектриса $CL$ лежит между высотой $CH$ и медианой $CM$.

Угол между высотой и биссектрисой равен разности углов $\angle ACL$ и $\angle ACH$:$\angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 45^\circ - \beta$.

Угол между медианой и биссектрисой равен разности углов $\angle ACM$ и $\angle ACL$:$\angle LCM = \angle ACM - \angle ACL = \alpha - 45^\circ$.

Для доказательства равенства $\angle HCL = \angle LCM$ сравним полученные выражения. Воспользуемся тем, что $\beta = 90^\circ - \alpha$. Подставим это в выражение для угла $\angle HCL$:$\angle HCL = 45^\circ - (90^\circ - \alpha) = 45^\circ - 90^\circ + \alpha = \alpha - 45^\circ$.

Таким образом, мы получили, что $\angle HCL = \alpha - 45^\circ$ и $\angle LCM = \alpha - 45^\circ$. Следовательно, $\angle HCL = \angle LCM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle HCL$ и $\angle LCM$ доказано, а это означает, что биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины.