Номер 5.15, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Для доказательства данного утверждения мы сначала докажем вспомогательную лемму, а затем применим её для решения основной задачи.

Лемма:Длина чевианы треугольника (отрезка, соединяющего вершину с точкой на противоположной стороне) не больше длины большей из двух сторон, выходящих из той же вершины.

Доказательство леммы:

Рассмотрим треугольник $XYZ$ и чевиану $YW$, где точка $W$ лежит на стороне $XZ$. Углы $\angle YWX$ и $\angle YWZ$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Это означает, что по крайней мере один из этих углов не может быть острым (то есть он либо прямой, либо тупой, $\ge 90^\circ$).

• Предположим, что $\angle YWX \ge 90^\circ$. В треугольнике $XYW$ этот угол будет наибольшим (так как сумма углов треугольника $180^\circ$, и другие два угла обязаны быть острыми). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, следовательно, сторона $XY$ (лежащая против угла $\angle YWX$) будет не меньше стороны $YW$. То есть, $YW \le XY$.
• Аналогично, если $\angle YWZ \ge 90^\circ$, то в треугольнике $ZYW$ этот угол будет наибольшим, и сторона $YZ$ (лежащая против него) будет не меньше стороны $YW$. То есть, $YW \le YZ$.

Поскольку один из этих двух случаев обязательно имеет место, длина чевианы $YW$ не превышает длины хотя бы одной из сторон $XY$ или $YZ$. Таким образом, $YW \le \max(XY, YZ)$. Лемма доказана.

Доказательство основного утверждения:

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Без ограничения общности, будем считать, что сторона $AC$ является наибольшей стороной треугольника, то есть $AC \ge AB$ и $AC \ge BC$.

Пусть $MN$ — это отрезок, концы которого, точки $M$ и $N$, лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Поскольку любые две стороны треугольника являются смежными (имеют общую вершину), мы можем рассмотреть случай, когда точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Другие возможные расположения (например, $M$ на $AB$ и $N$ на $AC$) доказываются абсолютно аналогично.

1. Проведём отрезок $AN$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому $AN$ является чевианой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$. Согласно доказанной лемме, её длина не превышает большей из сторон $AB$ и $AC$: $AN \le \max(AB, AC)$. Так как по нашему предположению $AC$ — наибольшая сторона ($AC \ge AB$), то получаем $AN \le AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABN$. Отрезок $MN$ соединяет точку $M$ на стороне $AB$ с вершиной $N$. Таким образом, $MN$ является чевианой треугольника $ABN$ (если рассматривать её из вершины $N$ к стороне $AB$). Применим нашу лемму, но уже к треугольнику $ABN$ и чевиане $MN$: $MN \le \max(NB, NA)$.

3. Соберём полученные неравенства. Мы знаем, что:

• $NA \le AC$ (из пункта 1).

• $NB \le BC$ (поскольку $N$ лежит на отрезке $BC$).

• $BC \le AC$ (так как $AC$ — наибольшая сторона).

Подставим эти оценки в неравенство из пункта 2: $MN \le \max(NB, NA) \le \max(BC, AC)$. Так как $AC \ge BC$, то $\max(BC, AC) = AC$. Следовательно, мы получаем окончательный результат: $MN \le AC$.

Таким образом, мы доказали, что длина любого отрезка с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.