Номер 5.16, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Отрезок $BB_1$ – биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $AB > B_1A$ и $BC > B_1C$.

Доказательство неравенства $AB > B_1A$

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Чтобы доказать, что сторона $AB$ длиннее стороны $B_1A$, нам необходимо доказать, что угол, лежащий против стороны $AB$, то есть $\angle AB_1B$, больше угла, лежащего против стороны $B_1A$, то есть $\angle ABB_1$.

Угол $\angle AB_1B$ является внешним для треугольника $B_1BC$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AB_1B = \angle CBB_1 + \angle BCB_1$.

По условию задачи, отрезок $BB_1$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, а это значит, что $\angle ABB_1 = \angle CBB_1$.

Подставим $\angle ABB_1$ вместо $\angle CBB_1$ в формулу для внешнего угла: $\angle AB_1B = \angle ABB_1 + \angle BCB_1$.

Поскольку $\angle BCB_1$ (или $\angle C$) — это угол треугольника $ABC$, его градусная мера положительна, то есть $\angle C > 0$. Отсюда следует, что $\angle ABB_1 + \angle C > \angle ABB_1$, а значит, $\angle AB_1B > \angle ABB_1$.

Так как в треугольнике $ABB_1$ против большего угла $\angle AB_1B$ лежит большая сторона $AB$, мы доказали, что $AB > B_1A$.

Ответ: неравенство $AB > B_1A$ доказано.

Доказательство неравенства $BC > B_1C$

Теперь рассмотрим треугольник $CBB_1$. Аналогично, чтобы доказать, что сторона $BC$ длиннее стороны $B_1C$, нам нужно доказать, что угол, лежащий против стороны $BC$, то есть $\angle CB_1B$, больше угла, лежащего против стороны $B_1C$, то есть $\angle CBB_1$.

Угол $\angle CB_1B$ является внешним для треугольника $ABB_1$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle CB_1B = \angle BAB_1 + \angle ABB_1$.

Угол $\angle BAB_1$ — это угол $\angle A$ треугольника $ABC$. Из условия, что $BB_1$ — биссектриса, мы знаем, что $\angle ABB_1 = \angle CBB_1$.

Подставив эти соотношения, получаем: $\angle CB_1B = \angle A + \angle CBB_1$.

Поскольку $\angle A$ — это угол треугольника, его градусная мера положительна, то есть $\angle A > 0$. Отсюда следует, что $\angle A + \angle CBB_1 > \angle CBB_1$, а значит, $\angle CB_1B > \angle CBB_1$.

Так как в треугольнике $CBB_1$ против большего угла $\angle CB_1B$ лежит большая сторона $BC$, мы доказали, что $BC > B_1C$.

Ответ: неравенство $BC > B_1C$ доказано.